Difference between revisions of "TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 424"

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{{Beispiel|1=
 
Sei <math><R,+,\cdot></math> ein Ring, in dem <math>a^2 = a</math> für alle <math>a \in R</math> gilt. Man zeige, dass dann auch <math>a + a = 0</math> für alle <math>a \in R</math> gilt. (Hinweis: Man betrachte <math>(a+a)^2</math>)
 
Sei <math><R,+,\cdot></math> ein Ring, in dem <math>a^2 = a</math> für alle <math>a \in R</math> gilt. Man zeige, dass dann auch <math>a + a = 0</math> für alle <math>a \in R</math> gilt. (Hinweis: Man betrachte <math>(a+a)^2</math>)
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== Lösung ==
 
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<math>\Rightarrow (a+a)^2 = a^2 + a^2 + a^2 + a^2</math>
 
<math>\Rightarrow (a+a)^2 = a^2 + a^2 + a^2 + a^2</math>
 
  
 
Da jedes beliebige <math>a^2 = a</math> ist, können wir links und rechts die Quadrate entfernen:
 
Da jedes beliebige <math>a^2 = a</math> ist, können wir links und rechts die Quadrate entfernen:
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Voilà!
 
Voilà!
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Anmerkung:
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<math>0 = a + a</math>
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<math> -a = a</math>
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--> Das einzige Element das sich selbst als additives Inverses Element besitzt ist das neutrale Element bezüglich der Addition (0).
  
 
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Latest revision as of 17:06, 9 December 2019

Sei ein Ring, in dem für alle gilt. Man zeige, dass dann auch für alle gilt. (Hinweis: Man betrachte )

Lösung[edit]

Strikt dem Hinweis folgen. Zuerst wird mithilfe des Distributivgesetzes aufgelöst:

Man braucht hier zwei Schritte mit dem Distributivgesetz, weil wir keine Gesetze haben, die uns direkt auflösen lassen.

Da jedes beliebige ist, können wir links und rechts die Quadrate entfernen:

Jetzt addieren wir zweimal das additive Inverse von a (sprich: (-a)):

Voilà!

Anmerkung:

--> Das einzige Element das sich selbst als additives Inverses Element besitzt ist das neutrale Element bezüglich der Addition (0).