Difference between revisions of "TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 424"

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Sei <math><R,+,\cdot></math> ein Ring, in dem <math>a^2 = a</math> für alle <math>a \in R</math> gilt. Man zeige, dass dann auch <math>a + a = 0</math> für alle <math>a \in R</math> gilt. (Hinweis: Man betrachte <math>(a+a)^2</math>)
Sei <math><R,+,\cdot></math> ein Ring, in dem <math>a^2 = a</math> für alle <math>a \in R</math> gilt. Man zeige, dass dann auch <math>a + a = 0</math> für alle <math>a \in R</math> gilt. (Hinweis: Man betrachte <math>(a+a)^2</math>)

Revision as of 20:11, 13 December 2018

Vorlage:Bsp

Sei ein Ring, in dem für alle gilt. Man zeige, dass dann auch für alle gilt. (Hinweis: Man betrachte )

Lösung

Strikt dem Hinweis folgen. Zuerst wird mithilfe des Distributivgesetzes aufgelöst:

Man braucht hier zwei Schritte mit dem Distributivgesetz, weil wir keine Gesetze haben, die uns direkt auflösen lassen.


Da jedes beliebige ist, können wir links und rechts die Quadrate entfernen:

Jetzt addieren wir zweimal das additive Inverse von a (sprich: (-a)):

Voilà!

Anmerkung:

--> Das einzige Element das sich selbst als additives Inverses Element besitzt ist das neutrale Element bezüglich der Addition (0).