TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 424

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Sei ein Ring, in dem für alle gilt. Man zeige, dass dann auch für alle gilt. (Hinweis: Man betrachte )

Lösung

Strikt dem Hinweis folgen. Zuerst wird mithilfe des Distributivgesetzes aufgelöst:

Man braucht hier zwei Schritte mit dem Distributivgesetz, weil wir keine Gesetze haben, die uns direkt auflösen lassen.

Da jedes beliebige ist, können wir links und rechts die Quadrate entfernen:

Jetzt addieren wir zweimal das additive Inverse von a (sprich: (-a)):

Voilà!

Anmerkung:

Bei kriegst du nicht sondern:

und wenn man das Quadrat wegnimmt, dann hat man:

oder

Man darf das Quadrat wegnehmen, nur bei und nicht bei

Anmerkung:

--> Das einzige Element das sich selbst als additives Inverses Element besitzt ist das neutrale Element bezüglich der Addition (0).