Difference between revisions of "TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 428"

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Revision as of 16:41, 30 July 2020

Betrachten Sie den Ring R[[x]] aus Aufgabe 426). I sei die Menge der Elemente \sum_{n\ge0}{a_nz^n} von R[[x]] mit a_0 = 0. Zeigen Sie: I ist ein Ideal von R[[x]].

Hilfreiches

Es sei I eine Teilmenge eines Ringes R=(R,+,*).I heißt Ideal von R, wenn gilt:
Nullelement \in I
\forall a,b \in I \mid a+b \in I
\forall a \in I, \forall r \in R \mid a*r \in I \land r*a \in I
https://de.wikipedia.org/wiki/Ideal_(Ringtheorie)

Lösungsvorschlag von neo

Bei der Angabe liegt vermutlich ein Schreibfehler vor, da der Ring aus Aufgabe 426 R[[z]] ist, nicht R[[x]].

Nullelement beweisen:
I = \sum_{n\ge0}{a_nz^n}=\{a_0z^0,a_1z^1,.....\} \to a_0z^0=a_0*1=a_0 \in I

Addition (bzw. Substraktion) beweisen:
Seien x,y \in I:\sum_{n\ge0}{a_nz^n}+\sum_{n\ge0}{b_nz^n}=\sum_{n\ge0}{(a_n+b_n)z^n}
Sei h_n=a_n+b_n \to \sum_{n\ge0}{h_nz^n} \in I

Multiplikation beweisen:
Seien x \in I,y \in R:\sum_{n\ge0}{x_nz^n}\sum_{n\ge0}{y_nz^n}=\sum_{n\ge0}{(\sum_{j\ge0}^n{x_j*y_{n-j}})z^n}
Sei q_n=\sum_{j\ge0}^n{x_jy_{n-j}} \to \sum_{n\ge0}{q_nz^n} \in I \to Rechtsideal
x \in I,y \in R:\sum_{n\ge0}{y_nz^n}\sum_{n\ge0}{x_nz^n}=\sum_{n\ge0}{(\sum_{j\ge0}^n{y_jx_{n-j}})z^n}
Sei p_n=\sum_{j\ge0}{y_jx_{n-j}} \to \sum_{n\ge0}{p_nz^n} \in I \to Linksideal
Linksideal + Rechtsideal \to I Ideal von R[[z]]