Difference between revisions of "TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 429"

From VoWi
Jump to navigation Jump to search
(Die Seite wurde neu angelegt: „Seien <math>I_1, I_2</math> zwei Ideale eines Ringes <math>R</math>. Zeigen Sie, dass dann <math>I_1 \cap I_2</math> ein Ideal von <math>R</math> ist. Gilt die…“)
 
 
Line 10: Line 10:
 
<math>\forall a,b \in I_1:a+b \in I_1, ab \in I_1</math><br>
 
<math>\forall a,b \in I_1:a+b \in I_1, ab \in I_1</math><br>
 
<math>\forall c,d \in I_2:c+d \in I_2, cd \in I_2</math><br>
 
<math>\forall c,d \in I_2:c+d \in I_2, cd \in I_2</math><br>
<math>I_1 \cap I_2 \subseteq I_1, I_1 \cap I_2 \subseteq I_2 \Rightarrow \forall a,b \in I_1 \cap I_2:a+b \in I_1 \cap I_2, ab \in I_1 \cap I_2</math> (Abgeschossenheit bezüglich <math> I_1 \cap I_2</math> bewiesen)<br><br>
+
<math>I_1 \cap I_2 \subseteq I_1, I_1 \cap I_2 \subseteq I_2 \Rightarrow \forall a,b \in I_1 \cap I_2:a+b \in I_1 \cap I_2</math> (Abgeschossenheit bezüglich <math> I_1 \cap I_2</math> bewiesen)<br><br>
  
 
<math>\forall a I_1:\forall b \in R:ab \in I_1, ba \in I_1</math><br>
 
<math>\forall a I_1:\forall b \in R:ab \in I_1, ba \in I_1</math><br>

Latest revision as of 17:32, 30 July 2020

Seien I_1, I_2 zwei Ideale eines Ringes R. Zeigen Sie, dass dann I_1 \cap I_2 ein Ideal von R ist. Gilt dies auch für I_1 \cap I_2?

Hilfreiches[edit]

https://de.wikipedia.org/wiki/Ideal_(Ringtheorie)

Lösungsvorschlag von neo[edit]

a_0 \in I_1 \land a_0 \in I_2 \Rightarrow a_0 \in I_1 \cap I_2 (Nullteiler bewiesen)

\forall a,b \in I_1:a+b \in I_1, ab \in I_1
\forall c,d \in I_2:c+d \in I_2, cd \in I_2
I_1 \cap I_2 \subseteq I_1, I_1 \cap I_2 \subseteq I_2 \Rightarrow \forall a,b \in I_1 \cap I_2:a+b \in I_1 \cap I_2 (Abgeschossenheit bezüglich  I_1 \cap I_2 bewiesen)

\forall a I_1:\forall b \in R:ab \in I_1, ba \in I_1
\forall c I_2:\forall d \in R:cd \in I_2, dc \in I_2
I_1 \cap I_2 \subseteq I_1, I_1 \cap I_2 \subseteq I_2 \Rightarrow \forall a \in I_1 \cap I_2:\forall b \in R:ab \in I_1 \cap I_2, ba \in I_1 \cap I_2 (Abgeschlossenheit bezüglich R bewiesen)
Damit wäre bewiesen, dass I_1 \cap I_2 ein Ideal sein muss.

Sei nun R der Ring von den ganzen Zahlen \mathbb{Z} und V_3,V_2 Ideale, welche die Vielfachen von 3 bzw. 2 darstellen.
V_3 \cap V_2 = \{3k+2m\}
Setzt man nun für k=m=1 ein, folgt:
3*1+2*1=5 \to 5 \notin V_3 \cup V_2
\Rightarrow I_1 \cup I_2 muss nicht ein Ring sein.