Difference between revisions of "TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 430"

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Revision as of 17:58, 30 July 2020

Sei (R,+,*) ein beliebiger Ring und A \subseteq R. Weiters sei I(A) die Menge aller Ideale von R, die A umfassen. Zeigen Sie: \cap_{I\in I(A)}{I} ist das kleinste Ideal von R, das A umfasst.

Hilfreiches

Ein Ideal I ist eine Teilmenge eines Ringes R für die gilt:
Nullelement \in I
\forall a,b \in I:a+b \in I
\forall a \in I:\forall r \in R:ar\in I, ra \in I

Lösungsvorschlag von neo

Zuerst beweist man, dass der Durchschnitt von zwei Idealen ebenfalls ein Ideal ist. Seien I_1,I_2 zwei Ideale (a_0 \widehat{=}Nullelement):
a_0 \in I_1, a_0 \in I_2 \Rightarrow a_0 \in I_1 \cap I_2
\forall a,b \in I_1 \cap I_2: a+b \in I_1 \cap I_2
Wahr, denn I_1 \cap I_2 \subseteq I_1 bzw. I_2 und wenn eine Eigenschaft für alle Elemente einer Menge gilt, dann gilt sie auch für einen Teil davon.
\forall a \in I_1 \cap I_2:\forall r \in R:ar \in I_1 \cap I_2, ra \in I_1 \cap I_2
Wahr mit der selben Argumentation wie oben.
Also ist der Durchschnitt von zwei Idealen wieder ein Ideal.

Da alle Elemente aus I(A) die Menge A enthalten, gilt:
\forall I \in I(A): A \in I \Rightarrow \cap_{I \in I(A)}{I}
Wenn alle Elemente A enthalten, dann enthält auch der Durchschnitt aller Elemente A.

\forall I_1,I_2 \in I(A):I_1 \cap I_2 \subseteq I_1, I_1 \cap I_2 \subseteq I_2
\Rightarrow Der Durschnitt von zwei Mengen ist immer kleiner-gleich der kleineren Menge der beiden Mengen. Also folgt daraus:
\Rightarrow \cap_{I \in I(A)}{I} enthält A und ist gleichzeitig das kleinste Ideal, welches A enthält.\Box