Difference between revisions of "TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 432"

From VoWi
Jump to navigation Jump to search
(Die Seite wurde neu angelegt: „Sei <math>\varphi: R_1 \to R_2</math> ein Ringhomomorphismus und <math>I</math> ein Ideal von <math>R_2</math>. Man zeige, dass <math>\varphi{-1}(I)</math> Ide…“)
 
(No difference)

Latest revision as of 19:00, 30 July 2020

Sei \varphi: R_1 \to R_2 ein Ringhomomorphismus und I ein Ideal von R_2. Man zeige, dass \varphi{-1}(I) Ideal von R_1 ist.

Hilfreiches[edit]

Ringhomomorphismus:
Gegeben seien zwei Ringe R,S. Eine Funktion \varphi: R \to S heißt Ringhomomorphismus, wenn für alle Elemente a,b von R gilt:
\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b) und \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)

Ist \varphi:G\to H ein Gruppenhomomorphismus, so wird das neutrale Element e_G von G auf das neutrale Element e_H von H abgebildet, d.h. \varphi(e_G)=e_H.

Lösungsvorschlag von neo[edit]

Für I gilt:
0 \in I
\forall x,y \in I:x+y \in I
\forall x \in I:\forall r \in R_2:xr \in R_2, rx \in R_2

Da es eine Umkehrfunktion \varphi^{-1} gibt, muss \varphi bijektiv sein:
\forall a \in R_1 \exists! b \in R_2 : b=\varphi(a)
Es wird also jedes Element aus R_1 genau auf eine Element in R_2 abgebildet. Umgekehrt gilt dasselbe.

Sei nun S=\varphi^{-1}(I) das Ideal von R_1:
0 \in \varphi^{-1}(I) (Aufgrund des Gruppenhomomorphismussatzes)
\forall x,y \in I:x+y \in I \,\, \Rightarrow \,\,\forall \varphi^{-1}(x),\varphi^{-1}(y):\varphi^{-1}(x)+\varphi^{-1}(y) \in S (Abgeschlossenheit in S bezüglich der Addition)
\forall x \in I:\forall r \in R_2:xr \in R_2, rx \in R_2
\Rightarrow \forall \varphi^{-1}(x) \in \varphi^{-1}(I):\forall \varphi^{-1}(r) \in \varphi^{-1}(R_2):\varphi^{-1}(x)\varphi^{-1}(r) \in S, \varphi^{-1}(r)\varphi^{-1}(x) \in S (Abgeschlossenheit in S bezüglich der Multiplikation)