Difference between revisions of "TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 436"

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Ein Polynom heißt irreduzibel, wenn es nicht als Produkt zweier Polynome kleineren Grades darstellbar ist. Man untersuche das Polynom x^2 + x + 1 auf Irreduzibilität a) über \mathbb{Q}, b) über \mathbb{Z}_3.

Hilfreiches

Irreduzibilitätskriterien über Körper:
Jedes Polynom vom Grad 1 ist irreduzibel. Besitzt ein irreduzibles Polynom eine Nullstelle, so hat es Grad 1.
Insbesondere hat jedes irreduzible Polynom über einem algebraisch abgeschlossenen Körper wie \mathbb{C} Grad 1.
Jedes Polynom über K vom Grad 2 oder vom Grad 3 ist genau dann irreduzibel, wenn es keine Nullstelle in K hat.
https://de.wikipedia.org/wiki/Irreduzibles_Polynom

Lösungsvorschlag von neo

\mathbb{Q} stellt einen Körper dar.

a) große Lösungsformel anwenden:
x^2+x+1=0
\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4*1*1}}{2*1}=\frac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}
x_1=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \notin \mathbb{Q}
x_2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \notin \mathbb{Q}
Es ist keine Nullstelle in \mathbb{Q} vorhanden und daher ist das Polynom x^2+x+1 über \mathbb{Q} irreduzibel.

b) \mathbb{Z}_3=\{\overline{2},\overline{1},\overline{0}\}

+ \overline{0} \overline{1} \overline{2}
\overline{0} \overline{0} \overline{1} \overline{2}
\overline{1} \overline{1} \overline{2} \overline{0}
\overline{2} \overline{2} \overline{0} \overline{1}
* \overline{0} \overline{1} \overline{2}
\overline{0} \overline{0} \overline{0} \overline{0}
\overline{1} \overline{0} \overline{1} \overline{2}
\overline{2} \overline{0} \overline{2} \overline{1}

Nun setzt man für x jede Restklasse ein und rechnet das Ergebnis aus.
x=\overline{0}: \,\, \overline{0}^2+\overline{0}+\overline{1} \to \overline{0} + \overline{0} + \overline{1}
x=\overline{1}: \,\, \overline{1}^1+\overline{1}+\overline{1} \to \overline{1} + \overline{1} + \overline{1}
x=\overline{2}: \,\, \overline{2}^2+\overline{2}+\overline{1} \to \overline{1} + \overline{2} + \overline{1}
Wie man sieht lässt sich über \mathbb{Z}_3 das Polynom x^2+x+1 in Polynome niedrigeren Grades zerlegen und ist daher reduzibel über \mathbb{Z}_3.