Difference between revisions of "TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 437"

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Ein Polynom heißt irreduzibel, wenn es nicht als Produkt zweier Polynome kleineren Grades darstellbar ist. Man untersuche das Polynom x^2 + x + 1 auf Irreduzibilität a) über \mathbb{R}, b) über \mathbb{Z}_5.

Hilfreiches[edit]

Irreduzibilitätskriterien über Körper:
Jedes Polynom vom Grad 1 ist irreduzibel. Besitzt ein irreduzibles Polynom eine Nullstelle, so hat es Grad 1.
Insbesondere hat jedes irreduzible Polynom über einem algebraisch abgeschlossenen Körper wie \mathbb{C} Grad 1.
Jedes Polynom über K vom Grad 2 oder vom Grad 3 ist genau dann irreduzibel, wenn es keine Nullstelle in K hat.
https://de.wikipedia.org/wiki/Irreduzibles_Polynom

Lösungsvorschlag von neo[edit]

\mathbb{R} stellt einen Körper dar.

a) große Lösungsformel anwenden: x^2+x+1=0 \to x_1=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \notin \mathbb{R}, x_2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \notin \mathbb{R}
\Rightarrow Irreduzibel über \mathbb{R}

b) \mathbb{Z}_5=\{\overline{4},\overline{3},\overline{2},\overline{1},\overline{0}\}

+ \overline{0} \overline{1} \overline{2} \overline{3} \overline{4}
\overline{0} \overline{0} \overline{1} \overline{2} \overline{3} \overline{4}
\overline{1} \overline{1} \overline{2} \overline{3} \overline{4} \overline{0}
\overline{2} \overline{2} \overline{3} \overline{4} \overline{0} \overline{1}
\overline{3} \overline{3} \overline{4} \overline{0} \overline{1} \overline{2}
\overline{4} \overline{4} \overline{0} \overline{1} \overline{2} \overline{3}
* \overline{0} \overline{1} \overline{2} \overline{3} \overline{4}
\overline{0} \overline{0} \overline{0} \overline{0} \overline{0} \overline{0}
\overline{1} \overline{0} \overline{1} \overline{2} \overline{3} \overline{4}
\overline{2} \overline{0} \overline{2} \overline{4} \overline{1} \overline{3}
\overline{3} \overline{0} \overline{3} \overline{1} \overline{4} \overline{2}
\overline{4} \overline{0} \overline{4} \overline{3} \overline{2} \overline{1}

Wieder für x einsetzen und niedrigeres Polynom suchen:
\overline{0}^2+\overline{0}+\overline{1}=\overline{1} \,\, \widehat{=} \,\,(\overline{0}+\overline{0}+\overline{1})*(\overline{1})=\overline{1}
\overline{1}^2+\overline{1}+\overline{1}=\overline{3} \,\, \widehat{=} \,\,(\overline{1}+\overline{1}+\overline{1})*(\overline{1})=\overline{3}
\overline{2}^2+\overline{2}+\overline{1}=\overline{2} \,\, \widehat{=} \,\,(\overline{4})*(\overline{3})=\overline{2}
\overline{3}^2+\overline{3}+\overline{1}=\overline{3} \,\, \widehat{=} \,\,(\overline{1}+\overline{1}+\overline{1})*(\overline{1})=\overline{3}
\overline{4}^2+\overline{4}+\overline{1}=\overline{1} \,\, \widehat{=} \,\,(\overline{0}+\overline{0}+\overline{1})*(\overline{1})=\overline{1}
\Rightarrow reduzibel über \mathbb{Z}_5