TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 44

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Für welche komplexen Zahlen gilt \overline{z}=\frac{1}{z}?

Hilfreiches

Baustein:Konjugation einer komplexen Zahl Baustein:Division komplex Baustein:Umrechnung komplex

Lösung von Baccus

Einfache Lösung in Polardarstellung:

\bar{z} ist die zu z konjugiert komplexe Zahl, d.h.:

z = a + bi = (a, b) = [r, \varphi]  \Longrightarrow

\bar{z} = a - bi = (a, -b) = [r, -\varphi].

1/z = \frac{[1, 0]}{[r, \varphi]} = [1/r, 0-\varphi] (Rechenregel: Division in Polardarstellung).

Aufgabe war: \bar{z} = 1/z:

Radius: \begin{cases}r_{\bar{z}}=r\\ r_{1/z}=1/r\end{cases}

\Rightarrow r = 1/r \Longrightarrow r=1

Winkel: \begin{cases}\varphi_{\bar{z}}=-\varphi\\\varphi_{1/z}=-\varphi\end{cases}

\Rightarrow -\varphi = -\varphi, d.h. keine Einschränkungen für \varphi.

Fazit: z muß bei beliebigem Phasenwinkel \varphi den Radius r = 1 haben (d.h. auf dem Einheitskreis liegen).

--Baccus 05:33, 26. Nov 2006 (CET)

Lösung von mnemetz

f.thread:48263

Als z' bezeichne ich die konjugiert komplexe von z.

z' = 1/z

a - bi = 1/(a + bi) | *(a + bi)

(a - bi) * (a + bi) = 1

a^2 + abi -abi - (bi)^2 = 1

a^2 - b^2*i^2 = 1

a^2 + b^2 = 1

a^2 + b^2 ist der Betrag von z.

Also gilt z' = 1/z wenn |z| = 1.

EDIT: sqrt(a² + b²) ist der Betrag von z.

Lösung von Hapi

\bar{Z} = 1/Z

Welche komplexen Zahlen werdern dadurch repräsentiert?

\bar{Z} (Z mit Querstrich darüber) bedeutet die konjugiert komplexe Zahl von Z, dh:

\bar{Z} = a - bi und Z = a + bi , (Real und Imaginärteil).

Ausmultipliziert lautet der Term:

\bar{Z} * Z = 1 = (a – bi)*(a + bi) = (a² + b²) = 1

\sqrt{a^2 + b^2} = 1 = |Z|, = (Radius des Vektors)

Formel Z = |Z| * (cos\phi -i.sin\phi), = Polarkoordianten [1,\phi]

cos \phi = |Z| /a,

sin \phi = |Z| /b

Das bedeutet, daß \phi jeden Wert zwischen 0 und 2\pi annehmen kann, der wegen der Radiuslänge 1 auf dem Einheitskreis liegt.

Hapi

Lösung von Thomas

Die einfachste Lösung aus dem SS09:

\overline{z}=\frac{1}{z}\qquad \qquad //\ast z

\overline{z}\ast z=1\qquad //\overline{z}\ast z=\left\vert z\right\vert ^{2}

\Longrightarrow \left\vert z\right\vert ^{2}=1

\Longrightarrow \left\vert z\right\vert =1

Thomas

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