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TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 44

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Für welche komplexen Zahlen gilt \overline{z}=\frac{1}{z}?

Inhaltsverzeichnis

Hilfreiches

Konjugation einer komplexen Zahl
Konjugation einer komplexen Zahl

Bei der Konjugation einer komplexen Zahl wird der Imaginärteil invertiert.

  • Kartesische Darstellung:  
  • Polardarstellung:  
Division komplex

Kategorie:Division komplex

Umrechnung komplex
Umrechnung komplex

Umrechnung von komplexen Zahlen:

  • Kartesische   Polar-Darstellung:  
 
 
  • Polare   kartesische Darstellung:  

Lösung von Baccus

Einfache Lösung in Polardarstellung:

  ist die zu   konjugiert komplexe Zahl, d.h.:

 

 .

  (Rechenregel: Division in Polardarstellung).

Aufgabe war:  :

Radius:  

Winkel:  , d.h. keine Einschränkungen für  .

Fazit:   muß bei beliebigem Phasenwinkel   den Radius   = 1 haben (d.h. auf dem Einheitskreis liegen).

--Baccus 05:33, 26. Nov 2006 (CET)

Lösung von mnemetz

f.thread:48263

Als z' bezeichne ich die konjugiert komplexe von z.

z' = 1/z

a - bi = 1/(a + bi) | *(a + bi)

(a - bi) * (a + bi) = 1

a^2 + abi -abi - (bi)^2 = 1

a^2 - b^2*i^2 = 1

a^2 + b^2 = 1

a^2 + b^2 ist der Betrag von z.

Also gilt z' = 1/z wenn |z| = 1.

EDIT: sqrt(a² + b²) ist der Betrag von z.

Lösung von Hapi

  = 1/Z

Welche komplexen Zahlen werdern dadurch repräsentiert?

  (Z mit Querstrich darüber) bedeutet die konjugiert komplexe Zahl von Z, dh:

  = a - bi und Z = a + bi , (Real und Imaginärteil).

Ausmultipliziert lautet der Term:

  * Z = 1 = (a – bi)*(a + bi) = (a² + b²) = 1

  = 1 = |Z|, = (Radius des Vektors)

Formel Z = |Z| * (cos  -i.sin ), = Polarkoordianten [1, ]

cos   = |Z| /a,

sin   = |Z| /b

Das bedeutet, daß   jeden Wert zwischen 0 und 2  annehmen kann, der wegen der Radiuslänge 1 auf dem Einheitskreis liegt.

Hapi

Lösung von Thomas

Die einfachste Lösung aus dem SS09:

 

 

 

 

Thomas

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