TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 440

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Man untersuche das Polynom x^3 - x^2 + 1 auf Irreduzibilität a) über Q; b) über Z_5

Lösung von AndiOnline[edit]

Bei Polynomen 2. und 3. Grades kann man die Irreduzibilität durch Bestimmen der Nullstellen herausfinden.

a) x kann als Bruchzahl dargestellt werden, wobei p/q teilerfremd sind. p/q: p,q sind Element der ganzen Zahlen ohne Null, ggT(p,q)=1.

 \frac{p^3}{ q^3} - \frac{p^2}{q^2} + 1 = 0 | \cdot q^3

p^3 - p^2\cdot q + q^3=0

p^3 = p^2\cdot q - q^3

q | p^3 \Rightarrow q = \pm 1

D.h. die Nullstellen müssen (falls vorhanden) plus oder minus 1 sein. Jetzt gebrauch ich auch mal die schöne Formulierung, die mich schon manchmal um den Verstand gebracht hat: "Wie sich durch einfaches nachrechnen feststellen lässt" ist weder -1 noch +1 eine Nullstelle, daher gibt es in Q keine Nullstellen, d.h. Polynom ist irreduzibel.

b) Für x^3 - x^2 + 1 = 0 ergibt sich durch Ausprobieren:

2^3 - 2^2 + 1 = 5 = 0 mod 5

D.h. das Polynom ist reduzibel und zwar lautet das kleinere Polynom (x - 2).

Beweis:

(x^3 - x^2 + 1) : (x - 2) = (x^2 + x + 2)
-x^3 +2x^2
0   + x^2 + 1
    -(x^2 - 2x)
            2x + 1
          (-2x - 4)
               + 5 = 0 mod 5 => 0 Rest

Das heißt das Polynom ist in 
x^3 - x^2 + 1 = (x-2) \cdot (x^2+x+2) 
zerlegbar.

Einsetzen von 2 ergibt: 
8 - 4 + 1 = 5 = 0 \text{ mod }5
was zum richtigen Ergebnis führt.

Lösung wurde so in der Übungsstunde bei Hr. Prof. Urbanek durchgerechnet.

edit:

Wenn ich nun aber zur Gegenprobe (x-2) \cdot (x^2+x+2) rechne kommt x^3 - x^2 -4 raus. Hat dazu jemand eine Ahnung?

Edit von Mure: -->Weil der Rest (in dem Fall: +5), in der Lösung, vergessen wurde.. lautet korrekt: (x-2) \cdot (x^2+x+2)+5

Edit von Willi: Modulo 5 ist -4 und +1 das selbe.