View source for TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 457

{{Beispiel|1=
Untersuchen Sie, ob <math>W</math> Teilraum des Vektorraums <math>V=\mathbb{R}^3</math> über <math>\mathbb{R}</math> ist und beschreiben Sie die Menge <math>W</math> geometrisch:

<math>W=\{(x, y, z)\in V\;|\;x+y+z \le 0\}</math>
}}

==Hilfreiches==
{{Thema|Untervektorraum}}

== Lösungsvorschlag ==

Gegeben ist ein Vektorraum: <math>V=\mathbb{R}^3</math>, K = R, +, also mathematischer geschrieben: <R³,+,R>

W <math>\le 0</math> V, W = {<math> (x,y,z) | x+y +z \le 0</math> }

Dass heißt Vektoren die <math>\le 0</math> sind, müssen addiert werden und die Summe muss die Bedingung <math>\le 0</math> erfüllen.

Als Beispiel:

 v1 = ( x y z )         (x+y+z)          <math>\le 0</math>
 v2 = (x1 y1 z1)        (x1+y1+z1)       <math>\le 0</math> und das Ergenis der Addition wäre dann 
 v3 =  v1+v2 =          (x+x1 y+y1 z+z1) <math>\le 0</math>

Man kann aber nicht beliebig skalieren (<math>\lambda</math> aus R). Daher kann <math>\lambda</math> negativ sein.

Somit wird aber eine negative Summe der Komponenten von einem negativen Vektor positv werden.

--> Kein Vektorraum.

==Links==
* Diskussion im UE-Forum [[f.thread:61045|WS07]] Beispiel 330

Wikipedia:
*[http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum Vektorraum]
*[http://de.wikipedia.org/wiki/Unterraum Teilraum, Unterraum]
*[http://de.wikipedia.org/wiki/Körper_(Algebra) Körper]

*ähnliche Beispiele: 
**[[TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 361]] 
**[[TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 363]] 
**[[TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 365]]    
**[[TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 366]] 
**[[TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 369]] 
**[[TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 370]]

*Siehe auch:

Heldermann, Mathematik für Informatiker, Seite 96

[[Kategorie:Vektorraum]]

[[Kategorie:Materialien]]