TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 457

Untersuchen Sie, ob $W$ Teilraum des Vektorraums $V=\mathbb{R}^3$ über $\mathbb{R}$ ist und beschreiben Sie die Menge $W$ geometrisch:

$W=\{(x, y, z)\in V\;|\;x+y+z \le 0\}$

Hilfreiches

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad\langle U, +, K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\neq\varnothing$
• $\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y}\in U \Longrightarrow\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\in U \quad(U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• $\overrightarrow{x}\in U, \lambda\in K \Longrightarrow\lambda\overrightarrow{x}\in U \quad(U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Lösungsvorschlag

Gegeben ist ein Vektorraum: $V=\mathbb{R}^3$, K = R, +, also mathematischer geschrieben: <R³,+,R>

W $\le 0$ V, W = {$(x,y,z) | x+y +z \le 0$ }

Dass heißt Vektoren die $\le 0$ sind, müssen addiert werden und die Summe muss die Bedingung $\le 0$ erfüllen.

Als Beispiel:

v1 = ( x y z )         (x+y+z)          $\le 0$
v2 = (x1 y1 z1)        (x1+y1+z1)       $\le 0$ und das Ergenis der Addition wäre dann 
v3 =  v1+v2 =          (x+x1 y+y1 z+z1) $\le 0$

Man kann aber nicht beliebig skalieren ($\lambda$ aus R). Daher kann $\lambda$ negativ sein.

Somit wird aber eine negative Summe der Komponenten von einem negativen Vektor positv werden.

--> Kein Teilraum.

Links

• Diskussion im UE-Forum WS07 Beispiel 330

Wikipedia:

• Vektorraum
• Teilraum, Unterraum
• Körper

• ähnliche Beispiele:
  • TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 361
  • TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 363
  • TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 365
  • TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 366
  • TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 369
  • TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 370

• Siehe auch:

Heldermann, Mathematik für Informatiker, Seite 96