Difference between revisions of "TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 464"

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<math>x^2+y^2=0 \to (x^2=-(y^2) \lor -(x^2)=y^2) \lor (x^2=0 \land y^2=0)</math><br>
 
<math>x^2+y^2=0 \to (x^2=-(y^2) \lor -(x^2)=y^2) \lor (x^2=0 \land y^2=0)</math><br>
 
Da jede Zahl quadriert positiv ist, bleibt nur die Möglichkeit offen, dass beide Zahlen 0 sind.<br>
 
Da jede Zahl quadriert positiv ist, bleibt nur die Möglichkeit offen, dass beide Zahlen 0 sind.<br>
Daher ist das einzige Element in dem Unterraum <math>W=\{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\}</math><br>
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<math>\begin{pmatrix}x \\ y \\z \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ z+c\end{pmatrix}\in W</math><b>
<math>\Rightarrow \,\,W</math> ist ein Teilraum<br>
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<math>\Rightarrow \,\,W</math> ist bezüglich der Vektoraddition abgeschlossen<br><br>
Geometrisch entspricht das einfach einem Punkt im Ursprung.
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<math>\lambda \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \lambda z \end{pmatrix} \in W</math><br>
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<math>\Rightarrow \,\,W</math> ist bezüglich der Skalarmultiplikation abgeschlossen<br><br>
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<math>0^2+0^2=0 \to \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \in W</math><br>
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<math>\Rightarrow \,\,W</math> besitzt ein neutrales Element<br><br>
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<math>\Rightarrow \,\,W</math> ist ein Teilraum<br><br>
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Geometrisch entspricht der Teilraum der z-Achse.

Latest revision as of 10:02, 2 August 2020

Untersuchen Sie, ob W Teilraum des Vektorraums \mathbb{R}_3 über \mathbb{R} ist und beschreiben Sie die Menge W geometrisch: W=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=0\}

Hilfreiches[edit]

Lösungsvorschlag von neo[edit]

W=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2=0\}
x^2+y^2=0 \to (x^2=-(y^2) \lor -(x^2)=y^2) \lor (x^2=0 \land y^2=0)
Da jede Zahl quadriert positiv ist, bleibt nur die Möglichkeit offen, dass beide Zahlen 0 sind.
\begin{pmatrix}x \\ y \\z \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ z+c\end{pmatrix}\in W \Rightarrow \,\,W ist bezüglich der Vektoraddition abgeschlossen

\lambda \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \lambda z \end{pmatrix} \in W
\Rightarrow \,\,W ist bezüglich der Skalarmultiplikation abgeschlossen

0^2+0^2=0 \to \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \in W
\Rightarrow \,\,W besitzt ein neutrales Element

\Rightarrow \,\,W ist ein Teilraum

Geometrisch entspricht der Teilraum der z-Achse.