Difference between revisions of "TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 465"

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<math>\lambda \in \mathbb{R}: \lambda f(x) = \lambda -f(-x) \to f(\lambda x) = -f(-\lambda x)</math><br>
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<math>\lambda \in \mathbb{R}: \lambda f(x) = \lambda (-f(-x)) \to f(\lambda x) = -f(-\lambda x)</math><br>
 
<math>\Rightarrow</math> Skalare Multiplikation abgeschlossen<br><br>
 
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Revision as of 12:18, 2 August 2020

Untersuchen Sie, ob W Teilraum des Vektorraums V über K ist. Sei V der Vektorraum aller Funktionen f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} über K = \mathbb{R}, W die Menge aller ungeraden Funktionen in V , d. h. aller Funktionen f, für die gilt: f(x)=-f(-x) , für alle x \in \mathbb{R}.

Hilfreiches

Lösungsvorschlag von neo

Seien f,g f\neq g zwei Funktionen aus W
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=(-f(-x))+(-g(-x))=-f(-x)-g(-x)=(-f-g)(-x)=-(f+g)(-x)
\Rightarrow Addition abgeschlossen

\lambda \in \mathbb{R}: \lambda f(x) = \lambda (-f(-x)) \to f(\lambda x) = -f(-\lambda x)
\Rightarrow Skalare Multiplikation abgeschlossen

Es gilt: V ist der Vektorraum aller Funktionen \mathbb{R}\to \mathbb{R}
Daher muss es auch die Funktion e:\mathbb{R} \to \mathbb{R} mit e(x)=0 geben. Daraus folgt: \forall v \in V:\exists e \in V:v(x)+e(x)=v(x) \to v(x)+0=v(x)
Da e(0)=-e(-0)=0 \Rightarrow e \in W
\Rightarrow neutrales Element ist e

\Rightarrow \,\, W ist ein Unterraum