Difference between revisions of "TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 471"

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Daher ist (-lambda*a) auch das Inverse zu (-lambda)*a u da es in jeder Gruppe usw nur ein Inverses zu jedem Element geben kann, folgt daraus, dass  die beiden ident sind
 
Daher ist (-lambda*a) auch das Inverse zu (-lambda)*a u da es in jeder Gruppe usw nur ein Inverses zu jedem Element geben kann, folgt daraus, dass  die beiden ident sind
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==Lösungsvorschlag von neo==
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Ich hätte es so gemacht:<br>
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Da <math>a \in V</math> ist und damit einen Vektor repräsentiert ist <math>a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\\.\\.\\.\\a_n\end{pmatrix}</math><br>
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Nun kann man das ganze umformen:<br><br>
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<math>(-\lambda)a=(-\lambda)\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\\.\\.\\.\\a_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\lambda a_1\\-\lambda a_2\\-\lambda a_3\\.\\.\\.\\-\lambda a_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(-1)\lambda a_1\\(-1)\lambda a_2\\(-1)\lambda a_3\\.\\.\\.\\(-1)\lambda a_n\end{pmatrix}=(-1)(\lambda a) = -(\lambda a)</math><br>
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Latest revision as of 15:11, 2 August 2020

Zeigen Sie, dass in jedem Vektorraum V über dem Körper K für alle a \in V, \lambda \in K gilt:

(- \lambda )a = -( \lambda a )

Lösungsansatz[edit]

Anmerkung: Ich bin nicht sicher, ob man das so machen kann. Falls jemand dafür oder dagegen ist, bitte ich um Feedback zu diesem Ansatz. mfg, W wallner

Wichtig ist der Unterschied zwischen 0_K und 0_V.

0_K bezeichnet das neutrale Element bezüglich der Addition im Körper K. Also ist 0_K ein Skalar.

0_v ist der Nullvektor, der enthält lauter 0_K.

Wenn man einen beliebigen Vektor mit 0_K multipliziert, erhält man den Nullvektor. Der Grund dafür ist, dass im K ein Körper ist. Und in Ringen (und somit auch in Körpern) ergibt die Multiplikation mit dem neutralen Element der Addition immer das neutrale Element der Addition. Der Beweis steht im Buch auf Seite 81, ungefähr in der Mitte:

a.0 = a.0
a.0 = a.(0+0)
a.0 = a.0 +  a.0 // -(a.0)
a.0 -a.0 = a.0 +  a.0 -a.0
0 = a.0

Damit können wir jetzt den in der Angabe geforderten Beweis führen:

 0_V = 0_V 
 a.0_K = 0_V 
 a.( \lambda + (- \lambda )) = 0_V 
 a.\lambda + a.(-\lambda) = 0_V 
 a.\lambda - a.\lambda + a.(-\lambda) ) = 0_V - a.\lambda 
 a.(-\lambda) ) = - a.\lambda 

mfg, W wallner

Lösungsvorschlag von m4rS[edit]

Hab auch ne Idee wie mans rechnen könnte u genauso keine Ahnung obs so stimmt ;) (bzw egentlich würd ichs eh genauso rechnen wie oben) Wichtig ist auch die Def 3.2 im Buch mMn

 Also \lambda liegt in K, daher gibts ein Inverses = -\lambda (bzw --\lambda=+\lambda invers zu -\lambda
Jetzt addiere ich auf beiden Seiten -\lambda*a, kommt (-lambda)*a+(--lambda*a)=0 raus

Daher ist (-lambda*a) auch das Inverse zu (-lambda)*a u da es in jeder Gruppe usw nur ein Inverses zu jedem Element geben kann, folgt daraus, dass die beiden ident sind


Lösungsvorschlag von neo[edit]

Ich hätte es so gemacht:
Da a \in V ist und damit einen Vektor repräsentiert ist a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\\.\\.\\.\\a_n\end{pmatrix}
Nun kann man das ganze umformen:

(-\lambda)a=(-\lambda)\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\\.\\.\\.\\a_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\lambda a_1\\-\lambda a_2\\-\lambda a_3\\.\\.\\.\\-\lambda a_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(-1)\lambda a_1\\(-1)\lambda a_2\\(-1)\lambda a_3\\.\\.\\.\\(-1)\lambda a_n\end{pmatrix}=(-1)(\lambda a) = -(\lambda a)
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