Editing TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 486

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<div {{Angabe}}>
 
Zeigen Sie, daß die Vektoren <math>\vec{x_1},\vec{x_2},\vec{x_3}</math> genau dann linear unabhängig sind, wenn <math>\vec{x_1}+\vec{x_2},\vec{x_2}+\vec{x_3},\vec{x_3}</math> linear unabhängig sind.
 
Zeigen Sie, daß die Vektoren <math>\vec{x_1},\vec{x_2},\vec{x_3}</math> genau dann linear unabhängig sind, wenn <math>\vec{x_1}+\vec{x_2},\vec{x_2}+\vec{x_3},\vec{x_3}</math> linear unabhängig sind.
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= Theoretische Grundlagen (von mnemetz) =
 
= Theoretische Grundlagen (von mnemetz) =
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Ein Vektor mit der Form <math>\vec{y} = \lambda_1*\vec{x_1} + \lambda_2*\vec{x_2} + \dots + \lambda_n*\vec{x_n}</math> heißt '''Linearkombination der Vektoren <math>\vec{x_1},\vec{x_2},\dots,\vec{x_n}</math>.
 
Ein Vektor mit der Form <math>\vec{y} = \lambda_1*\vec{x_1} + \lambda_2*\vec{x_2} + \dots + \lambda_n*\vec{x_n}</math> heißt '''Linearkombination der Vektoren <math>\vec{x_1},\vec{x_2},\dots,\vec{x_n}</math>.
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Die Vektoren <math>\vec{x_1},\vec{x_2},\dots,\vec{x_n}</math> heißen '''linear abhängig''', wenn einer von ihnen als Linearkombination der übrigen dargestellt werden kann, d.h. z.B.: <math>\vec{x_1} = \lambda_2*\vec{x_2} + \lambda_3*\vec{x_3} + \dots + \lambda_n*\vec{x_n}</math>
 
Die Vektoren <math>\vec{x_1},\vec{x_2},\dots,\vec{x_n}</math> heißen '''linear abhängig''', wenn einer von ihnen als Linearkombination der übrigen dargestellt werden kann, d.h. z.B.: <math>\vec{x_1} = \lambda_2*\vec{x_2} + \lambda_3*\vec{x_3} + \dots + \lambda_n*\vec{x_n}</math>
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Andernfalls heißen <math>\vec{x_1},\vec{x_2},\dots,\vec{x_n}</math> '''linear unabhängig'''.
 
Andernfalls heißen <math>\vec{x_1},\vec{x_2},\dots,\vec{x_n}</math> '''linear unabhängig'''.
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Satz: Die Vektoren <math>\vec{x_1},\vec{x_2},\dots,\vec{x_n}</math> sind genau dann linear unabhängig, wenn gilt: <math>\lambda_1*\vec{x_1} + \lambda_2*\vec{x_2} + \dots + \lambda_n*\vec{x_n} = \vec{0} \Rightarrow \lambda_1 = \lambda_2 = \dots = \lambda_n = 0</math>
 
Satz: Die Vektoren <math>\vec{x_1},\vec{x_2},\dots,\vec{x_n}</math> sind genau dann linear unabhängig, wenn gilt: <math>\lambda_1*\vec{x_1} + \lambda_2*\vec{x_2} + \dots + \lambda_n*\vec{x_n} = \vec{0} \Rightarrow \lambda_1 = \lambda_2 = \dots = \lambda_n = 0</math>
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= Lösungsvorschlag von mnemetz =
 
= Lösungsvorschlag von mnemetz =
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<math>\lambda_1 * \vec{x_1} + \lambda_2 * \vec{x_2} + \lambda_3 * \vec{x_3} = 0</math>
 
<math>\lambda_1 * \vec{x_1} + \lambda_2 * \vec{x_2} + \lambda_3 * \vec{x_3} = 0</math>
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'''In diese Linearkombination setzen wir die Bedingungen der Angabe ein'''!
 
'''In diese Linearkombination setzen wir die Bedingungen der Angabe ein'''!
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<math>\mu_1 * \vec{x_1} + (\mu_1 + \mu_2) * \vec{x_2} + (\mu_2 + \mu_3) * \vec{x_3} = 0</math>
 
<math>\mu_1 * \vec{x_1} + (\mu_1 + \mu_2) * \vec{x_2} + (\mu_2 + \mu_3) * \vec{x_3} = 0</math>
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Nun überprüfen wir, ob die lineare Unabhängigkeit zutrifft.
 
Nun überprüfen wir, ob die lineare Unabhängigkeit zutrifft.
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<math>\lambda_3 = 0 \Rightarrow \mu_2 + \mu_3 = 0 \Rightarrow \mu_3 = 0</math>
 
<math>\lambda_3 = 0 \Rightarrow \mu_2 + \mu_3 = 0 \Rightarrow \mu_3 = 0</math>
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<math>\mu_1 = 0 \Rightarrow \lambda_1=0</math>
 
<math>\mu_1 = 0 \Rightarrow \lambda_1=0</math>

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