Difference between revisions of "TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 486"

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Zeigen Sie, daß die Vektoren <math>\vec{x_1},\vec{x_2},\vec{x_3}</math> genau dann linear unabhängig sind, wenn <math>\vec{x_1}+\vec{x_2},\vec{x_2}+\vec{x_3},\vec{x_3}</math> linear unabhängig sind.
 
Zeigen Sie, daß die Vektoren <math>\vec{x_1},\vec{x_2},\vec{x_3}</math> genau dann linear unabhängig sind, wenn <math>\vec{x_1}+\vec{x_2},\vec{x_2}+\vec{x_3},\vec{x_3}</math> linear unabhängig sind.
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= Theoretische Grundlagen (von mnemetz) =
 
= Theoretische Grundlagen (von mnemetz) =

Revision as of 15:48, 1 March 2019

Zeigen Sie, daß die Vektoren genau dann linear unabhängig sind, wenn linear unabhängig sind.

Theoretische Grundlagen (von mnemetz)

Wir befinden uns in und betrachten:

  • Vektoren:
  • Skalare:

Ein Vektor mit der Form heißt Linearkombination der Vektoren .


Die Vektoren heißen linear abhängig, wenn einer von ihnen als Linearkombination der übrigen dargestellt werden kann, d.h. z.B.:


Andernfalls heißen linear unabhängig.


Satz: Die Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn gilt:


Lösungsvorschlag von mnemetz

Zuerst schreiben wir die Linearkombination unserer Vektoren auf:


In diese Linearkombination setzen wir die Bedingungen der Angabe ein!

Wir multiplizieren das aus ...

... und fassen wieder zusammen, was zusammen gehört:


Nun überprüfen wir, ob die lineare Unabhängigkeit zutrifft.



Lösungsvorschlag von m4rS

Eigentlich eh der gleiche wie oben, nur ein wenig anders formuliert

Das ist die Linearkombination von x,y,z

Das die der Angabe, da beide 0 ergeben können wir sie gleichsetzen.

Jetzt bringen wir alles auf eine Seite und multiplizieren aus

, ist das gleiche wie

Womit wir wieder eine Linearkombination haben, wobei wie in der Annahme am Anfang gilt, dass sie linear unabhängig ist, wenn alle drei Koeffizienten 0 sind. Weiter sind nach der Annahme am Anfang , also müssen die Lambda auch alle null sein, sonst sind unsere neuen Koeffizienten nicht null.

Ressourcen

Literatur

  • Gröber, Matrizenrechnung, Hochschultaschenbücher 130, Mannheim 1966
  • Skriptum S. 80f.