Difference between revisions of "TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 486"

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Latest revision as of 16:58, 7 March 2019

Zeigen Sie, daß die Vektoren genau dann linear unabhängig sind, wenn linear unabhängig sind.

Theoretische Grundlagen (von mnemetz)[edit]

Wir befinden uns in und betrachten:

  • Vektoren:
  • Skalare:

Ein Vektor mit der Form heißt Linearkombination der Vektoren .

Die Vektoren heißen linear abhängig, wenn einer von ihnen als Linearkombination der übrigen dargestellt werden kann, d.h. z.B.:

Andernfalls heißen linear unabhängig.

Satz: Die Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn gilt:

Lösungsvorschlag von mnemetz[edit]

Zuerst schreiben wir die Linearkombination unserer Vektoren auf:

In diese Linearkombination setzen wir die Bedingungen der Angabe ein!

Wir multiplizieren das aus ...

... und fassen wieder zusammen, was zusammen gehört:

Nun überprüfen wir, ob die lineare Unabhängigkeit zutrifft.

Lösungsvorschlag von m4rS[edit]

Eigentlich eh der gleiche wie oben, nur ein wenig anders formuliert

Das ist die Linearkombination von x,y,z

Das die der Angabe, da beide 0 ergeben können wir sie gleichsetzen.

Jetzt bringen wir alles auf eine Seite und multiplizieren aus

, ist das gleiche wie

Womit wir wieder eine Linearkombination haben, wobei wie in der Annahme am Anfang gilt, dass sie linear unabhängig ist, wenn alle drei Koeffizienten 0 sind. Weiter sind nach der Annahme am Anfang , also müssen die Lambda auch alle null sein, sonst sind unsere neuen Koeffizienten nicht null.

Ressourcen[edit]

Literatur[edit]

  • Gröber, Matrizenrechnung, Hochschultaschenbücher 130, Mannheim 1966
  • Skriptum S. 80f.