Difference between revisions of "TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 486"

From VoWi
Jump to navigation Jump to search
m (replaced <amsmath> with <math>)
 
 
(9 intermediate revisions by 5 users not shown)
Line 1: Line 1:
<div {{Angabe}}>
+
{{Beispiel|1=
 
Zeigen Sie, daß die Vektoren <math>\vec{x_1},\vec{x_2},\vec{x_3}</math> genau dann linear unabhängig sind, wenn <math>\vec{x_1}+\vec{x_2},\vec{x_2}+\vec{x_3},\vec{x_3}</math> linear unabhängig sind.
 
Zeigen Sie, daß die Vektoren <math>\vec{x_1},\vec{x_2},\vec{x_3}</math> genau dann linear unabhängig sind, wenn <math>\vec{x_1}+\vec{x_2},\vec{x_2}+\vec{x_3},\vec{x_3}</math> linear unabhängig sind.
</div>
+
}}
  
 
= Theoretische Grundlagen (von mnemetz) =
 
= Theoretische Grundlagen (von mnemetz) =
Line 9: Line 9:
  
 
Ein Vektor mit der Form <math>\vec{y} = \lambda_1*\vec{x_1} + \lambda_2*\vec{x_2} + \dots + \lambda_n*\vec{x_n}</math> heißt '''Linearkombination der Vektoren <math>\vec{x_1},\vec{x_2},\dots,\vec{x_n}</math>.
 
Ein Vektor mit der Form <math>\vec{y} = \lambda_1*\vec{x_1} + \lambda_2*\vec{x_2} + \dots + \lambda_n*\vec{x_n}</math> heißt '''Linearkombination der Vektoren <math>\vec{x_1},\vec{x_2},\dots,\vec{x_n}</math>.
 
  
 
Die Vektoren <math>\vec{x_1},\vec{x_2},\dots,\vec{x_n}</math> heißen '''linear abhängig''', wenn einer von ihnen als Linearkombination der übrigen dargestellt werden kann, d.h. z.B.: <math>\vec{x_1} = \lambda_2*\vec{x_2} + \lambda_3*\vec{x_3} + \dots + \lambda_n*\vec{x_n}</math>
 
Die Vektoren <math>\vec{x_1},\vec{x_2},\dots,\vec{x_n}</math> heißen '''linear abhängig''', wenn einer von ihnen als Linearkombination der übrigen dargestellt werden kann, d.h. z.B.: <math>\vec{x_1} = \lambda_2*\vec{x_2} + \lambda_3*\vec{x_3} + \dots + \lambda_n*\vec{x_n}</math>
 
  
 
Andernfalls heißen <math>\vec{x_1},\vec{x_2},\dots,\vec{x_n}</math> '''linear unabhängig'''.
 
Andernfalls heißen <math>\vec{x_1},\vec{x_2},\dots,\vec{x_n}</math> '''linear unabhängig'''.
 
  
 
Satz: Die Vektoren <math>\vec{x_1},\vec{x_2},\dots,\vec{x_n}</math> sind genau dann linear unabhängig, wenn gilt: <math>\lambda_1*\vec{x_1} + \lambda_2*\vec{x_2} + \dots + \lambda_n*\vec{x_n} = \vec{0} \Rightarrow \lambda_1 = \lambda_2 = \dots = \lambda_n = 0</math>
 
Satz: Die Vektoren <math>\vec{x_1},\vec{x_2},\dots,\vec{x_n}</math> sind genau dann linear unabhängig, wenn gilt: <math>\lambda_1*\vec{x_1} + \lambda_2*\vec{x_2} + \dots + \lambda_n*\vec{x_n} = \vec{0} \Rightarrow \lambda_1 = \lambda_2 = \dots = \lambda_n = 0</math>
 
  
 
= Lösungsvorschlag von mnemetz =
 
= Lösungsvorschlag von mnemetz =
Line 24: Line 20:
  
 
<math>\lambda_1 * \vec{x_1} + \lambda_2 * \vec{x_2} + \lambda_3 * \vec{x_3} = 0</math>
 
<math>\lambda_1 * \vec{x_1} + \lambda_2 * \vec{x_2} + \lambda_3 * \vec{x_3} = 0</math>
 
  
 
'''In diese Linearkombination setzen wir die Bedingungen der Angabe ein'''!
 
'''In diese Linearkombination setzen wir die Bedingungen der Angabe ein'''!
  
<math>\mu_1 * (\vec{x_1}+\vec{x_2}) + \mu_2 * (\vec{x_2}+\vec{x_3}) + \mu_3 * \vec{x_3}) = 0</math>
+
<math>\mu_1 * (\vec{x_1}+\vec{x_2}) + \mu_2 * (\vec{x_2}+\vec{x_3}) + \mu_3 * \vec{x_3} = 0</math>
  
 
Wir multiplizieren das aus ...
 
Wir multiplizieren das aus ...
Line 37: Line 32:
  
 
<math>\mu_1 * \vec{x_1} + (\mu_1 + \mu_2) * \vec{x_2} + (\mu_2 + \mu_3) * \vec{x_3} = 0</math>
 
<math>\mu_1 * \vec{x_1} + (\mu_1 + \mu_2) * \vec{x_2} + (\mu_2 + \mu_3) * \vec{x_3} = 0</math>
 
  
 
Nun überprüfen wir, ob die lineare Unabhängigkeit zutrifft.
 
Nun überprüfen wir, ob die lineare Unabhängigkeit zutrifft.
Line 46: Line 40:
  
 
<math>\lambda_3 = 0 \Rightarrow \mu_2 + \mu_3 = 0 \Rightarrow \mu_3 = 0</math>
 
<math>\lambda_3 = 0 \Rightarrow \mu_2 + \mu_3 = 0 \Rightarrow \mu_3 = 0</math>
 
 
 
  
 
<math>\mu_1 = 0 \Rightarrow \lambda_1=0</math>
 
<math>\mu_1 = 0 \Rightarrow \lambda_1=0</math>
Line 54: Line 45:
 
<math>\mu_2 = 0 \Rightarrow \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \Rightarrow \lambda_2 = 0</math>
 
<math>\mu_2 = 0 \Rightarrow \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \Rightarrow \lambda_2 = 0</math>
  
<math>\mu_2 = 0 \Rightarrow \lambda_2 + \lambda_3 = 0 \Rightarrow \lambda_3 = 0</math>
+
<math>\mu_3 = 0 \Rightarrow \lambda_2 + \lambda_3 = 0 \Rightarrow \lambda_3 = 0</math>
 
 
  
 
=Lösungsvorschlag von [[Benutzer:Ms|m4rS]]=
 
=Lösungsvorschlag von [[Benutzer:Ms|m4rS]]=
Line 76: Line 66:
  
 
[[Kategorie:Vektoren]]
 
[[Kategorie:Vektoren]]
 +
 +
[[Kategorie:Materialien]]

Latest revision as of 16:58, 7 March 2019

Zeigen Sie, daß die Vektoren genau dann linear unabhängig sind, wenn linear unabhängig sind.

Theoretische Grundlagen (von mnemetz)[edit]

Wir befinden uns in und betrachten:

  • Vektoren:
  • Skalare:

Ein Vektor mit der Form heißt Linearkombination der Vektoren .

Die Vektoren heißen linear abhängig, wenn einer von ihnen als Linearkombination der übrigen dargestellt werden kann, d.h. z.B.:

Andernfalls heißen linear unabhängig.

Satz: Die Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn gilt:

Lösungsvorschlag von mnemetz[edit]

Zuerst schreiben wir die Linearkombination unserer Vektoren auf:

In diese Linearkombination setzen wir die Bedingungen der Angabe ein!

Wir multiplizieren das aus ...

... und fassen wieder zusammen, was zusammen gehört:

Nun überprüfen wir, ob die lineare Unabhängigkeit zutrifft.

Lösungsvorschlag von m4rS[edit]

Eigentlich eh der gleiche wie oben, nur ein wenig anders formuliert

Das ist die Linearkombination von x,y,z

Das die der Angabe, da beide 0 ergeben können wir sie gleichsetzen.

Jetzt bringen wir alles auf eine Seite und multiplizieren aus

, ist das gleiche wie

Womit wir wieder eine Linearkombination haben, wobei wie in der Annahme am Anfang gilt, dass sie linear unabhängig ist, wenn alle drei Koeffizienten 0 sind. Weiter sind nach der Annahme am Anfang , also müssen die Lambda auch alle null sein, sonst sind unsere neuen Koeffizienten nicht null.

Ressourcen[edit]

Literatur[edit]

  • Gröber, Matrizenrechnung, Hochschultaschenbücher 130, Mannheim 1966
  • Skriptum S. 80f.