Difference between revisions of "TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 514"

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== Lösung von Gittenburg ==
==Lösung von ...==
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=== U ist Teilraum von V ===
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# nicht leer, weil Nullvektor enthalten
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# abgeschlossen bezüglich +<br><math>
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\begin{pmatrix}
 +
x_1 \\ x_2 \\ x_1 + x_2
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\end{pmatrix}
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y_1 \\ y_2 \\ y_1 + y_2
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\end{pmatrix}
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=
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\begin{pmatrix}
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x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2 \\ x_1 + x_2 y_1 + y_2
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\end{pmatrix}
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</math>
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# abgeschlossen bezüglich *, Verhältnisse bleiben bei Multiplikation gleich
 +
 
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=== W ist Teilraum von V ===
 +
 
 +
# nicht leer, weil Nullvektor enthalten
 +
# abgeschlossen bezüglich +<br><math>
 +
\begin{pmatrix}
 +
x_1 \\ -x_1 \\ x_3
 +
\end{pmatrix}
 +
+
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\begin{pmatrix}
 +
y_1 \\ -y_1 \\ y_3
 +
\end{pmatrix}
 +
=
 +
\begin{pmatrix}
 +
x_1 + y_1 \\
 +
-(x_1 + y_1)\\
 +
x_3 + y_3
 +
\end{pmatrix}
 +
</math>
 +
# abgeschlossen bezüglich *, Verhältnisse bleiben bei Multiplikation gleich
 +
 
 +
=== Dimension von U ===
 +
 
 +
<math>
 +
\left|
 +
\begin{pmatrix}
 +
1 \\ 0\\ 1
 +
\end{pmatrix},
 +
\begin{pmatrix}
 +
0 \\ 1\\ 1
 +
\end{pmatrix}
 +
\right| = 2
 +
</math>
 +
 
 +
=== Dimension von W ===
 +
 
 +
<math>
 +
\left|
 +
\begin{pmatrix}
 +
1 \\ -1\\ 0
 +
\end{pmatrix},
 +
\begin{pmatrix}
 +
0 \\ 0\\ 1
 +
\end{pmatrix}
 +
\right| = 2
 +
</math>
  
 
==Links==
 
==Links==

Revision as of 15:34, 17 December 2018

Vorlage:Bsp

Sei V = \mathbb{C}^3,


\begin{align}
U &= \{(z_1, z_2, z_3)\in V \mid z_1+z_2 = z_3\},\\
W &= \{(z_1,z_2,z_3)\in V \mid z_2 = -z_1\}.
\end{align}

Zeigen Sie, dass U und W Teilräume von V sind und bestimmen Sie deren Dimension.

Hilfreiches

Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 514[Bearbeiten]
Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 514[Bearbeiten]

Lösung von Gittenburg

U ist Teilraum von V

  1. nicht leer, weil Nullvektor enthalten
  2. abgeschlossen bezüglich +
    
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_1 + x_2
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
y_1 \\ y_2 \\ y_1 + y_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2 \\ x_1 + x_2 y_1 + y_2
\end{pmatrix}
  3. abgeschlossen bezüglich *, Verhältnisse bleiben bei Multiplikation gleich

W ist Teilraum von V

  1. nicht leer, weil Nullvektor enthalten
  2. abgeschlossen bezüglich +
    
\begin{pmatrix}
x_1 \\ -x_1 \\ x_3
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
y_1 \\ -y_1 \\ y_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_1 + y_1 \\
-(x_1 + y_1)\\
x_3 + y_3
\end{pmatrix}
  3. abgeschlossen bezüglich *, Verhältnisse bleiben bei Multiplikation gleich

Dimension von U


\left|
\begin{pmatrix}
1 \\ 0\\ 1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\ 1\\ 1
\end{pmatrix}
\right| = 2

Dimension von W


\left|
\begin{pmatrix}
1 \\ -1\\ 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\ 0\\ 1
\end{pmatrix}
\right| = 2

Links

Wikipedia:

Ähnliche Beispiele: