Difference between revisions of "TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 514"

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== Lösung von Gittenburg ==
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==Lösung von ...==
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=== U ist Teilraum von V ===
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# nicht leer, weil Nullvektor enthalten
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# abgeschlossen bezüglich +<br><math>
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\begin{pmatrix}
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x_1 \\ x_2 \\ x_1 + x_2
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# abgeschlossen bezüglich *, Verhältnisse bleiben bei Multiplikation gleich
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=== W ist Teilraum von V ===
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# nicht leer, weil Nullvektor enthalten
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# abgeschlossen bezüglich +<br><math>
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\begin{pmatrix}
 +
x_1 \\ -x_1 \\ x_3
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\end{pmatrix}
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+
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\begin{pmatrix}
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y_1 \\ -y_1 \\ y_3
 +
\end{pmatrix}
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=
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\begin{pmatrix}
 +
x_1 + y_1 \\
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-(x_1 + y_1)\\
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x_3 + y_3
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\end{pmatrix}
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# abgeschlossen bezüglich *, Verhältnisse bleiben bei Multiplikation gleich
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=== Dimension von U ===
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\left|
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\begin{pmatrix}
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1 \\ 0\\ 1
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\end{pmatrix},
 +
\begin{pmatrix}
 +
0 \\ 1\\ 1
 +
\end{pmatrix}
 +
\right| = 2
 +
</math>
 +
 
 +
=== Dimension von W ===
 +
 
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<math>
 +
\left|
 +
\begin{pmatrix}
 +
1 \\ -1\\ 0
 +
\end{pmatrix},
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\begin{pmatrix}
 +
0 \\ 0\\ 1
 +
\end{pmatrix}
 +
\right| = 2
 +
</math>
  
 
==Links==
 
==Links==

Revision as of 16:34, 17 December 2018

Vorlage:Bsp

Sei V = \mathbb{C}^3,

\begin{align} U &= \{(z_1, z_2, z_3)\in V \mid z_1+z_2 = z_3\},\\ W &= \{(z_1,z_2,z_3)\in V \mid z_2 = -z_1\}. \end{align}

Zeigen Sie, dass U und W Teilräume von V sind und bestimmen Sie deren Dimension.

Hilfreiches

Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 514[Bearbeiten]
Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 514[Bearbeiten]

Lösung von Gittenburg

U ist Teilraum von V

  1. nicht leer, weil Nullvektor enthalten
  2. abgeschlossen bezüglich +
    \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_1 + x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2 \\ x_1 + x_2 y_1 + y_2 \end{pmatrix}
  3. abgeschlossen bezüglich *, Verhältnisse bleiben bei Multiplikation gleich

W ist Teilraum von V

  1. nicht leer, weil Nullvektor enthalten
  2. abgeschlossen bezüglich +
    \begin{pmatrix} x_1 \\ -x_1 \\ x_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \\ -y_1 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + y_1 \\ -(x_1 + y_1)\\ x_3 + y_3 \end{pmatrix}
  3. abgeschlossen bezüglich *, Verhältnisse bleiben bei Multiplikation gleich

Dimension von U

\left| \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix} \right| = 2

Dimension von W

\left| \begin{pmatrix} 1 \\ -1\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \right| = 2

Links

Wikipedia:

Ähnliche Beispiele:

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