TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 514

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Vorlage:Bsp

Sei V = \mathbb{C}^3,


\begin{align}
U &= \{(z_1, z_2, z_3)\in V \mid z_1+z_2 = z_3\},\\
W &= \{(z_1,z_2,z_3)\in V \mid z_2 = -z_1\}.
\end{align}

Zeigen Sie, dass U und W Teilräume von V sind und bestimmen Sie deren Dimension.

Hilfreiches

Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 514[Bearbeiten]
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Lösung von Gittenburg

U ist Teilraum von V

  1. nicht leer, weil Nullvektor enthalten
  2. abgeschlossen bezüglich +
    
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_1 + x_2
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
y_1 \\ y_2 \\ y_1 + y_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2 \\ x_1 + x_2 y_1 + y_2
\end{pmatrix}
  3. abgeschlossen bezüglich *, Verhältnisse bleiben bei Multiplikation gleich

W ist Teilraum von V

  1. nicht leer, weil Nullvektor enthalten
  2. abgeschlossen bezüglich +
    
\begin{pmatrix}
x_1 \\ -x_1 \\ x_3
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
y_1 \\ -y_1 \\ y_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_1 + y_1 \\
-(x_1 + y_1)\\
x_3 + y_3
\end{pmatrix}
  3. abgeschlossen bezüglich *, Verhältnisse bleiben bei Multiplikation gleich

Dimension von U


\left|
\begin{pmatrix}
1 \\ 0\\ 1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\ 1\\ 1
\end{pmatrix}
\right| = 2

Dimension von W


\left|
\begin{pmatrix}
1 \\ -1\\ 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\ 0\\ 1
\end{pmatrix}
\right| = 2

Links

Wikipedia:

Ähnliche Beispiele: