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TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 516

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Sei V=\mathbb{C}^3, U=\{(z_1, z_2, z_3)\in V|z_1=2z_2=3z_3\}, W=\{(z_1,z_2,z_3)\in V|z_2=0\}. Zeigen Sie, daß U und W Teilräume von V sind und bestimmen Sie deren Dimension.

HilfreichesBearbeiten

Untervektorraum[Bearbeiten, WP, 3.05 Definition]

Sei   ein Vektorraum,   heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

  •  
  •   ist abgeschlossen bezüglich  
  •   ist abgeschlossen bezüglich  

Lösung von BaccusBearbeiten

(wurde vom UE-Leiter so ähnlich vorgerechnet)

Zeige Unterraumkriterien für U:Bearbeiten

  • U ist nicht leer: Gegenbeispiel  
  • Additivität:
Sei  ,  
 
  • Homogenität:
 

  ist Unterraum von  .

Zeige Unterraumkriterien für W:Bearbeiten

  • W ist nicht leer: Gegenbeispiel  
  • Additivität:
 
  • Homogenität:
 

  ist Unterraum von  .

Dimension von UBearbeiten

Die Basis von   ist z.B.  ; der gesamte Teilraum   kann also von   erzeugt werden, hängt also nur von einer Variablen ab  .

Dimension von WBearbeiten

Die kanonische Basis von   ist  ,  ; der gesamte Teilraum   kann also von   erzeugt werden, hängt also von zwei Variablen ab  .

Baccus 01:56, 19. Jan 2007 (CET)

LinksBearbeiten