Difference between revisions of "TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 523"

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Sei <math>U</math> die Menge aller <math>n \times n</math>-Matrizen <math>B</math> über <math>\mathbb R</math> mit <math>\text{det } B = \pm 1</math>. Man zeige, dass <math>U</math> Normalteiler von der Gruppe <math>\langle G, \cdot\rangle</math> aller regulären <math>n \times n</math> Matrizen A über <math>\mathbb{R}</math> ist (Gruppe aus [[../Beispiel 522|Bsp. 522]]) .
 
Sei <math>U</math> die Menge aller <math>n \times n</math>-Matrizen <math>B</math> über <math>\mathbb R</math> mit <math>\text{det } B = \pm 1</math>. Man zeige, dass <math>U</math> Normalteiler von der Gruppe <math>\langle G, \cdot\rangle</math> aller regulären <math>n \times n</math> Matrizen A über <math>\mathbb{R}</math> ist (Gruppe aus [[../Beispiel 522|Bsp. 522]]) .
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== Lösung von Gittenburg ==
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=== U ist Teilmenge von G ===
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G ist die Menge aller regulären Matrizen, das heißt:
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<math>\forall A \in G: \text{det }A \neq 0</math>
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Also ist U eine Teilmenge weil bei den Matrizen aus U die Determinante <math>\pm 1</math> ist.
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=== U ist nicht leer ===
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U beinhaltet beispielsweise die Einheitsmatrix.
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=== U ist abgeschlossen ===
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<math>\forall A,B \in U: A \cdot B \in U</math>
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<math>\text{det }(A \cdot B) = \text{det } A \cdot \text{det } B</math>
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=== Schlussfolgerung ===
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Die restlichen Gruppeneigenschaften werden von der kommutativen Gruppe G vererbt.
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Weil die Multiplikation in <math>\mathbb R</math> kommutativ ist, sind die Links- und Rechtsnebenklassen gleich, U ist also ein Normalteiler von G.
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Revision as of 16:50, 17 December 2018

Vorlage:Bsp

Sei die Menge aller -Matrizen über mit . Man zeige, dass Normalteiler von der Gruppe aller regulären Matrizen A über ist (Gruppe aus Bsp. 522) .

Hilfreiches

Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 523[Bearbeiten]

Lösung von Gittenburg

U ist Teilmenge von G

G ist die Menge aller regulären Matrizen, das heißt:

Also ist U eine Teilmenge weil bei den Matrizen aus U die Determinante ist.

U ist nicht leer

U beinhaltet beispielsweise die Einheitsmatrix.

U ist abgeschlossen

Schlussfolgerung

Die restlichen Gruppeneigenschaften werden von der kommutativen Gruppe G vererbt.

Weil die Multiplikation in kommutativ ist, sind die Links- und Rechtsnebenklassen gleich, U ist also ein Normalteiler von G.