TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 523

From VoWi
Jump to navigation Jump to search

Vorlage:Bsp

Sei die Menge aller -Matrizen über mit . Man zeige, dass Normalteiler von der Gruppe aller regulären Matrizen A über ist (Gruppe aus Bsp. 522) .

Hilfreiches

Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 523[Bearbeiten]

Lösung von Gittenburg

U ist Teilmenge von G

G ist die Menge aller regulären Matrizen, das heißt:

Also ist U eine Teilmenge weil bei den Matrizen aus U die Determinante ist.

U ist nicht leer

U beinhaltet beispielsweise die Einheitsmatrix.

U ist abgeschlossen

Schlussfolgerung

Die restlichen Gruppeneigenschaften werden von der kommutativen Gruppe G vererbt.

Weil die Multiplikation in kommutativ ist, sind die Links- und Rechtsnebenklassen gleich, U ist also ein Normalteiler von G.