TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 538

Aus VoWi
< TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)‎ | Übungen SS19
Version vom 7. März 2019, 17:58 Uhr von Gittenborg (Diskussion | Beiträge) (Gittenborg verschob die Seite TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen WS18/Beispiel 538 nach TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 538 und überschrieb dabei eine Weiterleitung: versch…)
(Unterschied) ← Nächstältere Version | Aktuelle Version (Unterschied) | Nächstjüngere Version → (Unterschied)
Wechseln zu: Navigation, Suche

Bestimmen Sie mit dem Gauß'schen Eliminationsverfahren die Lösung des Gleichungssystems über dem Körper K:

a) K=\mathbb{R}

b) K=\mathbb Z_2


\begin{align}
-3x_1 &+ x_2 + 2x_3 &+ x_4 &= 2\\
-x_1 &+ x_2 + x_3 &- x_4 &= 1\\
-5x_1 &+ x_2 + 3x_3 &+ 3x_4 &= 1
\end{align}

Lösungsvorschlag von RolandU, erweitert von mnemetz[Bearbeiten]

Zuerst einmal bringe ich das ganze in eine tabellarische Form.


\begin{align}
-3 \cdot x_1 & + & x_2 & + & 2 \cdot x_3 & + & x_4 & = & 2 \\
-x_1 & + & x_2 & + &  x_3 & - &  x_4 & = & 1 \\
-5 \cdot x_1 & + & x_2 & + & 3 \cdot x_3 & + & 3 \cdot x_4 & = & 1
\end{align}

Das stellen wir als Matrix dar:

\begin{pmatrix}
-3 & 1 & 2 & 1 & | & 2 \\                        
-1 & 1 & 1 & -1 & | & 1 \\
-5 & 1 & 3 & 3 & | & 1 \\
\end{pmatrix}

Da das drei unabhängige Gleichungen sind, kann ich sie beliebig anschreiben. Im Grunde haben sie ja nichts miteinander zu tun. Deswegen vertausche ich jetzt die 1. und die 2. Zeile.

\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 1 & -1 & | & 1 \\
-3 & 1 & 2 & 1 & | & 2 \\                   
-5 & 1 & 3 & 3 & | & 1 \\
\end{pmatrix}

So, als nächstes ein paar Umformungen.

  • Zeile II neu = Zeile II - 3 * Zeile I
  • Zeile III neu = Zeile III - 5 * Zeile I

\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 1 & -1 & | & 1 \\
0 & 2 & 1 & -4 & | & 1 \\
0 & 4 & 2 & -8 & | & 4 \\                      
\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 1 & -1 & | & 1 \\
0 & -2 & -1 & 4 & | & -1 \\
0 & -4 & -2 & 8 & | & -4 \\                      
\end{pmatrix}

  • Next step: III - 2*II

\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 1 & -1 & | & 1 \\
0 & 2 & 1 & -4 & | & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & | & -2 \\
\end{pmatrix}

0 = -2 - das ist nicht lösbar!

  • Ich glaube das Ergebnis nicht und suche den Rechenfehler... (RolandU)
  • Roland, das Ergebnis stimmt schon! Das Gleichungssystem hat gar keine Lösung! (mnemetz)

b) K=\mathbb{Z}_2