TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 565: Unterschied zwischen den Versionen

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen
(Die Seite wurde neu angelegt: „{{Beispiel|1= Man berechne: <math> \left| \begin{array}{rrrr} 1 & 3 & -1 & 5\\ 2 & 7 & 0 & 2\\ -1 & -2 & 4 & 0\\ 1 & 2 & -5 & -3 \end{array} \right| </math> }}…“)
 
(Beispiel gelöst)
Zeile 17: Zeile 17:
 
* Ähnliches Beispiel: [[TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 560]]
 
* Ähnliches Beispiel: [[TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 560]]
  
{{ungelöst}}
+
== Lösungsvorschlag von [[Benutzer:Königd|Königd]] ==
 +
Hier gibt es mehrer Varianten zu einer Lösung zu kommen:
 +
 
 +
'''1)''' Laplace'scher Entwicklungssatz
 +
 
 +
'''2)''' Umformen auf untere/obere Dreiecks Matrix
 +
 
 +
Hier ist meiner Meinung nach 2) viel einfacher und schneller zu machen
 +
 
 +
<math>
 +
\left|
 +
\begin{array}{rrrr}
 +
1 & 3 & -1 & 5\\
 +
2 & 7 & 0 & 2\\
 +
-1 & -2 & 4 & 0\\
 +
1 & 2 & -5 & -3
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
</math>
 +
 
 +
Wir verwenden die erste Zeile um die Anderen zu vereinfachen.
 +
 
 +
<math>
 +
II: II - 2*I
 +
</math>
 +
 
 +
<math>
 +
III: III + I
 +
</math>
 +
 
 +
<math>
 +
IV: IV - I
 +
</math>
 +
 
 +
Dadurch erhalten wir:
 +
 
 +
<math>
 +
\left|
 +
\begin{array}{rrrr}
 +
1 & 3 & -1 & 5\\
 +
0 & 1 & 2 & -8\\
 +
0 & 1 & 3 & 5\\
 +
0 & 1 & -4 & -8
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
</math>
 +
 
 +
Als nächstes Nutzen wir die Zweite Zeile um weiter umzuformen.
 +
 
 +
<math>
 +
III: III - II
 +
</math>
 +
 
 +
<math>
 +
IV: IV + II
 +
</math>
 +
 
 +
Dadurch erhalten wir:
 +
 
 +
<math>
 +
\left|
 +
\begin{array}{rrrr}
 +
1 & 3 & -1 & 5\\
 +
0 & 1 & 2 & -8\\
 +
0 & 0 & 1 & 13\\
 +
0 & 0 & -2 & -16
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
</math>
 +
 
 +
Nun fehl uns noch der letzte Schirtt damit wir die Obere Dreiecksform unserer Matrize erreichen.
 +
Die bekommen wir durch die Umformung:
 +
 
 +
<math>IV: IV + 2*II</math>
 +
 
 +
<math>
 +
\left|
 +
\begin{array}{rrrr}
 +
1 & 3 & -1 & 5\\
 +
0 & 1 & 2 & -8\\
 +
0 & 0 & 1 & 13\\
 +
0 & 0 & 0 & 10
 +
\end{array}
 +
\right|
 +
</math>
 +
 
 +
 
 +
Jetzt wo wir die Obere Dreiecksform erreicht haben, können wir die Determinante so ausrechnen indem wir
 +
 
 +
<math>
 +
det A = a_{11} * a_{22} * a_{33} * ... * a_{nn}
 +
</math>
 +
 
 +
berechnen. In diesem Falle ist es ganz einfach <math> det A = 1 * 1 * 1 * 10 = 10 </math>
 +
 
 +
 
 +
--[[Benutzer:Königd|Königd]] 17:04, 22. Jun. 2019 (CEST)
  
 
[[Kategorie:Materialien]]
 
[[Kategorie:Materialien]]
 
[[Kategorie:Determinanten]]
 
[[Kategorie:Determinanten]]

Version vom 22. Juni 2019, 17:05 Uhr

Man berechne:


\left|
\begin{array}{rrrr}
1 & 3 & -1 & 5\\
2 & 7 & 0 & 2\\
-1 & -2 & 4 & 0\\
1 & 2 & -5 & -3
\end{array}
\right|

Hilfreiches

Lösungsvorschlag von Königd

Hier gibt es mehrer Varianten zu einer Lösung zu kommen:

1) Laplace'scher Entwicklungssatz

2) Umformen auf untere/obere Dreiecks Matrix

Hier ist meiner Meinung nach 2) viel einfacher und schneller zu machen


\left|
\begin{array}{rrrr}
1 & 3 & -1 & 5\\
2 & 7 & 0 & 2\\
-1 & -2 & 4 & 0\\
1 & 2 & -5 & -3
\end{array}
\right|

Wir verwenden die erste Zeile um die Anderen zu vereinfachen.


II: II - 2*I


III: III + I


IV: IV - I

Dadurch erhalten wir:


\left|
\begin{array}{rrrr}
1 & 3 & -1 & 5\\
0 & 1 & 2 & -8\\
0 & 1 & 3 & 5\\
0 & 1 & -4 & -8
\end{array}
\right|

Als nächstes Nutzen wir die Zweite Zeile um weiter umzuformen.


III: III - II


IV: IV + II

Dadurch erhalten wir:


\left|
\begin{array}{rrrr}
1 & 3 & -1 & 5\\
0 & 1 & 2 & -8\\
0 & 0 & 1 & 13\\
0 & 0 & -2 & -16
\end{array}
\right|

Nun fehl uns noch der letzte Schirtt damit wir die Obere Dreiecksform unserer Matrize erreichen. Die bekommen wir durch die Umformung:

IV: IV + 2*II


\left|
\begin{array}{rrrr}
1 & 3 & -1 & 5\\
0 & 1 & 2 & -8\\
0 & 0 & 1 & 13\\
0 & 0 & 0 & 10
\end{array}
\right|


Jetzt wo wir die Obere Dreiecksform erreicht haben, können wir die Determinante so ausrechnen indem wir


det A = a_{11} * a_{22} * a_{33} * ... * a_{nn}

berechnen. In diesem Falle ist es ganz einfach  det A = 1 * 1 * 1 * 10 = 10


--Königd 17:04, 22. Jun. 2019 (CEST)