TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 580

Man bestimme die Eigenwerte der Matrix A:

$A = \begin{pmatrix}1 & -1 \\ -1 & 1\end{pmatrix}$

Update: WS16: "Man bestimme die Eigenwerte der Matrix A sowie zu jedem Eigenwert alle Eigenvektoren:"

Lösungsvorschlag von mnemetz

Das Eigenwertpolynom wird bestimmt durch die Formel: $det(A-(E_A*\lambda))$, wobei $E_A$ der Einheitsvektor von A ist.

$Eig_A = det(\begin{pmatrix}1 & -1 \\ -1 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}) = det(\begin{pmatrix}1 - \lambda & -1 \\ -1 & 1 - \lambda \end{pmatrix})$

$= (1-\lambda)*(1-\lambda)-1 = 1 - 2*\lambda + \lambda^2 - 1 = - 2*\lambda + \lambda^2 = \mathit{\lambda*(\lambda - 2)}$

$\underbrace{\lambda}_{\lambda_1 = 0}*\underbrace{(\lambda - 2)}_{\lambda_2 = 2}$

Die Eigenwerte von A sind somit:

• $\lambda_1 = 0$
• $\lambda_2 = 2$

Erweiterung von mnemetz's Lösungsvorschlag von ws

Die Eigenvektoren sind bestimmt durch die Formel: $A-(E_A*\lambda_n))*x = 0$, wobei man als $\lambda$ alle Eigenwerte nacheinander einsetzt.

Für $\lambda = 0$ haben wir also $(\begin{pmatrix}1 & -1 \\ -1 & 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix})*\begin{pmatrix}x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = 0$

Hier können wir schon sehen, dass $x_1 = x_2$ herauskommt.

Unser unbestimmter Eigenvektor wäre also: $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_1\end{pmatrix}$

(Konkret könnten wir z.B: 1 einsetzen und würden $\begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix}$ als bestimmten Eigenvektor bekommen.)

Für $\lambda = 2$ kommt uns die Matrix $(\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix} )*\begin{pmatrix}x_1\\ x_2 \end{pmatrix}= 0$ heraus.

Daraus kann man ablesen, dass $x_1 = -x_2$.

Daher haben wir hier den unbestimmten Eigenvektor: $\begin{pmatrix} x_1 \\ -x_1\end{pmatrix}$