TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 580

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Man bestimme die Eigenwerte der Matrix A:

A = \begin{pmatrix}1 & -1 \\ -1 & 1\end{pmatrix}

Update: WS16: "Man bestimme die Eigenwerte der Matrix A sowie zu jedem Eigenwert alle Eigenvektoren:"

Lösungsvorschlag von mnemetz[edit]

Das Eigenwertpolynom wird bestimmt durch die Formel: det(A-(E_A*\lambda)), wobei E_A der Einheitsvektor von A ist.

Eig_A = det(\begin{pmatrix}1 & -1 \\ -1 & 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}) = det(\begin{pmatrix}1 - \lambda & -1 \\ -1 & 1 - \lambda \end{pmatrix})

= (1-\lambda)*(1-\lambda)-1 = 1 - 2*\lambda + \lambda^2 - 1 = - 2*\lambda + \lambda^2 = \mathit{\lambda*(\lambda - 2)}

\underbrace{\lambda}_{\lambda_1 = 0}*\underbrace{(\lambda - 2)}_{\lambda_2 = 2}

Die Eigenwerte von A sind somit:

  • \lambda_1 = 0
  • \lambda_2 = 2

Erweiterung von mnemetz's Lösungsvorschlag von ws[edit]

Die Eigenvektoren sind bestimmt durch die Formel: A-(E_A*\lambda_n))*x = 0, wobei man als  \lambda alle Eigenwerte nacheinander einsetzt.

Für  \lambda = 0 haben wir also  (\begin{pmatrix}1 & -1 \\ -1 & 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix})*\begin{pmatrix}x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = 0

Hier können wir schon sehen, dass  x_1 = x_2 herauskommt.

Unser unbestimmter Eigenvektor wäre also:  \begin{pmatrix} x_1 \\ x_1\end{pmatrix}

(Konkret könnten wir z.B: 1 einsetzen und würden  \begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix} als bestimmten Eigenvektor bekommen.)

Für  \lambda = 2 kommt uns die Matrix (\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix} )*\begin{pmatrix}x_1\\ x_2 \end{pmatrix}= 0 heraus.

Daraus kann man ablesen, dass  x_1 = -x_2 .

Daher haben wir hier den unbestimmten Eigenvektor: \begin{pmatrix} x_1 \\ -x_1\end{pmatrix}