Editing TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 86

{{Beispiel|1=
Man bestätige die Richtigkeit der folgenden Behauptungen durch einen indirekten Beweis:<br>

(a) Ist die Summe <math>m + n</math> zweier Zahlen <math>m, n \in \mathbb{Z}</math> ungerade, dann ist genau einer der beiden Summanden ungerade.

(b) Ist das Quadrat <math>n^2</math> einer ganzen Zahl <math>n \in \mathbb{Z}</math> gerade, dann ist auch <math>n</math> gerade.
}}
'''WS16 Beispiel 86'''

== Hilfreiches ==
Aus "Mathematik für Informatik", S. 27:

<math>a \Rightarrow b \Leftrightarrow \lnot b \Rightarrow \lnot a</math>

Oder:

<math>\lnot (a \Rightarrow b) \Leftrightarrow a \land \lnot b</math>

== Lösung(svorschlag) ==
von --[[Benutzer:Christian.abila|Christian.abila]] 15:36, 10. Jul. 2012 (CEST)

(a) a = "Die Summe m+n zweier Zahlen m,n ∈ Z ist ungerade", b = "Es ist genau einer der beiden Summanden ungerade" <br>
Eine ungerade Zahl kriegt man immer dann, wenn tatsächlich einer der Summanden ungerade ist. Die Summe von zwei ungeraden Zahlen ergibt immer eine gerade Zahl. Die Implikation a ⇒ b ist also wahr.<br>
Jetzt muss betrachtet werden, ob auch ¬b ⇒ ¬a wahr ist. <br>
¬a = "Die Summe m+n zweier Zahlen m,n ∈ Z ist nicht ungerade", ¬b = "Es ist nicht genau einer der beiden Summanden ist ungerade" <br>
oder anders formuliert: ¬a = "Die Summe m+n zweier Zahlen m,n ∈ Z ist gerade", ¬b = "Beide Summanden sind ungerade"<br>
Das ist wahr, wie oben schon herausgefunden wurde.<br>
Daraus folgt <b>a ⇒ b ⇔ ¬b ⇒ ¬a ist wahr.</b>
<br><br>

(b) a = "Das Quadrat n^2 einer ganzen Zahl n ∈ Z ist gerade", b = "n ist auch gerade" <br>
a ⇒ b ist wahr. <br>
¬a ="Das Quadrat n^2 einer ganzen Zahl n ∈ Z ist ungerade", ¬b = "n ist auch ungerade" <br>
¬b ⇒ ¬a ist wahr. Daraus folgt <b>a ⇒ b ⇔ ¬b ⇒ ¬a ist wahr.</b>

[[Kategorie:Materialien]]