TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 95

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Beweisen Sie die folgenden Beziehung mit Hilfe von Elementtafeln oder geben Sie ein konkretes Gegenbeispiel an:

 A \cap (B \triangle C) \qquad = \qquad (A \cap B) \triangle (A \cap C)

Hilfreiches

Auch zu finden im Buch Mathematik für Informatik (Drmota, Gittenberger, Karigl, Panholzer) - 4. erweiterte Auflage 2014 auf Seite 35f.

Mengen-Vereinigung

Kategorie:Mengen-Vereinigung

Mengen-Differenz
Mengen-Differenz

A - B - A\B
e - e - ne
e - ne - e
ne - e - ne
ne - ne - ne


e .... ist Element
ne .... ist kein Element

=)

Mengen-Durchschnitt

Kategorie:Mengen-Durchschnitt

A B C B\triangleC A\cap() A\capB A\capC ()\triangle()
\notin / / / / / / /
\in \in
\in \in
\in \in
\in
\in \in \in \in \in \in
\in \in \in \in \in \in
\in \in \in \in \in

Fazit: Die Ausdrücke A\cap(B\triangle C) und (A\cap B)\triangle(A\cap C) sind äquivalent. Es gibt kein Gegenbeispiel.

--Baccus 05:25, 26. Nov 2006 (CET)


Lösungsvorschlag von AEA

Lösung durch Gegenbeispiel:

Wir benötigen eine Grundmenge G und die Mengen A, B und C um das Beispiel beweisen zu können.

G={a,b,c,d}

A = {a,b}

B = {b,c}

C = {c,d}

Linke Seite:

 B\triangle C  = A|B U B|A  =  {b,d}

 A\cap (B\triangle C) = A\cap ( B|C U  C|B ) = { b }

Rechte Seite:

A\cap B  = { b }

A\cap C  = leere Menge

A\cap B \cup A\cap C  = { b }

Setzt man die Mengen richtig in den linken und den rechten Ausdruck ein, kommt auf beiden Seiten {b} als Lösung heraus.

Somit wären die Ausdrücke A\cap(B\triangle C) und (A\cap B)\triangle(A\cap C) äquivalent. w.A.

Fehler!

mann kann doch nichts durch ein gegenbeispiel beweisen, nur widerlegen! man muss die Elementtafel benutzen