TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 95

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Beweisen Sie die folgenden Beziehung mit Hilfe von Elementtafeln oder geben Sie ein konkretes Gegenbeispiel an:

 A \cap (B \triangle C) \qquad = \qquad (A \cap B) \triangle (A \cap C)

Hilfreiches[edit]

Auch zu finden im Buch Mathematik für Informatik (Drmota, Gittenberger, Karigl, Panholzer) - 4. erweiterte Auflage 2014 auf Seite 35f.

Mengen-Vereinigung

Kategorie:Mengen-Vereinigung

Mengen-Differenz
Mengen-Differenz[edit]

A - B - A\B
e - e - ne
e - ne - e
ne - e - ne
ne - ne - ne


e .... ist Element
ne .... ist kein Element

=)

Mengen-Durchschnitt

Kategorie:Mengen-Durchschnitt

A B C B\triangleC A\cap() A\capB A\capC ()\triangle()
\notin / / / / / / /
\in \in
\in \in
\in \in
\in
\in \in \in \in \in \in
\in \in \in \in \in \in
\in \in \in \in \in

Fazit: Die Ausdrücke A\cap(B\triangle C) und (A\cap B)\triangle(A\cap C) sind äquivalent. Es gibt kein Gegenbeispiel.

--Baccus 05:25, 26. Nov 2006 (CET)


Lösungsvorschlag von AEA

Lösung durch Gegenbeispiel:

Wir benötigen eine Grundmenge G und die Mengen A, B und C um das Beispiel beweisen zu können.

G={a,b,c,d}

A = {a,b}

B = {b,c}

C = {c,d}

Linke Seite:

 B\triangle C  = A|B U B|A  =  {b,d}

 A\cap (B\triangle C) = A\cap ( B|C U  C|B ) = { b }

Rechte Seite:

A\cap B  = { b }

A\cap C  = leere Menge

A\cap B \cup A\cap C  = { b }

Setzt man die Mengen richtig in den linken und den rechten Ausdruck ein, kommt auf beiden Seiten {b} als Lösung heraus.

Somit wären die Ausdrücke A\cap(B\triangle C) und (A\cap B)\triangle(A\cap C) äquivalent. w.A.

Fehler![edit]

mann kann doch nichts durch ein gegenbeispiel beweisen, nur widerlegen! man muss die Elementtafel benutzen