TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 25: Unterschied zwischen den Versionen

Aus VoWi
Wechseln zu: Navigation, Suche
(+{{Bsp}})
Zeile 1: Zeile 1:
 
{{Bsp}}
 
{{Bsp}}
Kopiert von https://vowi.fsinf.at/wiki?title=TU_Wien:Mathematik_1_UE_(diverse)/%C3%9Cbungen_WS07/Beispiel_1&action=edit
+
<blockquote>
 +
Zeigen Sie, dass <math> \sqrt{3} </math> irrational ist!
 +
</blockquote>
  
<div {{Angabe}}>
+
== Hilfreiches ==
Zeigen Sie, daß <math> \sqrt{3} </math> irrational ist!
 
</div>
 
  
= Euklids Lösungsverfahren =
+
Indirekter Beweis
Als sich Euklid im zehnten Buch seiner ''Elemente'' an das Problem der Irrationalität von Zahlen heranwagte, ging es ihm darum zu beweisen, daß es eine Zahl geben kann, die nicht als Bruch darstellbar ist. Anstatt zu beweisen, daß <math>\pi</math> irrational ist, untersuchte er die Quadratwurzel von 2, also <math>\sqrt{2}</math> [...]. Um zu beweisen, daß <math>\sqrt{2}</math> nicht als Bruch dargestellt werden kann, bediente sich Euklid der ''reductio ad absurdum'' und nahm zunächst einmal an, daß sie als Bruch aufgeschrieben werden könne. Dann zeigte er, dass dieser hypothetische Bruch immer weiter vereinfacht oder gekürzt werden kann. [...] Euklid zeigt jedoch, daß der hypothetische Bruch, der <math>\sqrt{2}</math> darstellen soll, immer weiter und unendlich oft gekürzt werden könnte, ohne je seine einfachste Form zu erlangen. Das ist unsinnig, denn jeder Bruch muss einmal auf seine einfachste Form kommen; deshalb kann der angenommene hypothetische Bruch nicht existieren.
 
  
(Zitat aus ''"Fermats letzter Satz"'', Simon Singh, dtv 1998, TB, S. 74)
+
== Lösungsvorschlag von samuelp ==
  
 +
'''Angenommen''', <math> \sqrt{3}</math> ist eine rationale Zahl. Dann ist es möglich <math> \sqrt{3}</math> als Bruch darzustellen: <math>\sqrt{3}={a\over b}</math> mit natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>. Wir setzen voraus, dass der Bruch <math>{a\over b}</math> soweit wie möglich gekürzt ist.
  
Einige elementare Eigenschaften von Brüchen und geraden Zahlen müssen wir noch wissen:
+
Wir versuchen einen auf einen Widerspruch zu stoßen. Dazu formen wir um:
# Wenn wir eine beliebige Zahl nehmen und sie mit 2 multiplizieren, muss die sich ergebende Zahl gerade sein. Das ist praktisch die Definition einer geraden Zahl.
 
# Wenn das Quadrat einer Zahl (un-)gerade ist, so muss auch die Zahl selbst (un-)gerade sein.
 
# Brüche können vereinfacht werden: <math>\frac{16}{24}</math> ist das gleiche wie <math>\frac{8}{12}</math>. [...} Weiterhin ist <math>\frac{8}{12}</math> das gleiche wie <math>\frac{4}{6}</math>, und <math>\frac{4}{6}</math> wiederum das gleiche wie <math>\frac{2}{3}</math>. Allerdings kann <math>\frac{2}{3}</math> nicht mehr weiter vereinfacht werden, weil 2 und 3 keine gemeinamen Teiler haben. Es ist unmöglich, einen Bruch unendlich oft zu vereinfachen.
 
  
(Zitat aus ''"Fermats letzter Satz"'', Simon Singh, dtv 1998, TB, S. 344)
 
  
 +
<math>
 +
\begin{align}
 +
\sqrt{3} &=& {a\over b} \\
 +
3 &=& {a^2 \over b^2} \\
 +
3 b^2 &=& a^2
 +
\end{align}
 +
</math>
  
Wir nehmen an, <math> \sqrt{3}</math> ließe sich als rationale Zahl mit einem Bruch darstellen.
+
Aus der letzten Gleichung geht hervor, dass <math>a^2</math> durch 3 teilbar ist. Weil 3 eine Primzahl ist, muss auch <math>a</math> durch 3 teilbar sein (siehe Erlärung unten), setzen wir <math>r</math> sodass <math>a=3r</math>.
  
<math> \sqrt{3} = \frac{p}{q} </math>
+
Weitere Umformung:
  
Daraus folgt wiederum:
+
<math>
 +
\begin{align}
 +
3 b^2 &=& a^2 \\
 +
3 b^2 &=& 9 r^2 \\
 +
b^2 &=& 3 r^2
 +
\end{align}
 +
</math>
  
<math> 3 = \frac{p^2}{q^2} </math>
+
Ähnlich wie oben erkennen wir, dass  <math>b^2</math> durch 3 teilbar ist und damit auch <math>b</math>.
  
Und nach weiterer Umformung:
+
Jetzt erkennen wir einen Widerspruch zu unserer Annahme, dass der Bruch <math>{a\over b}</math> soweit wie möglich gekürzt ist, da sowohl <math>a</math> als auch <math>b</math> durch 3 teilbar sind.
  
<math> 3*q^2 = p^2</math>
+
=== wenn <math>a^2</math> druch eine Primzahl <math>p</math> teilbar ist, dann auch <math>a</math> ===
  
<math> \Rightarrow p^2 </math> ist durch 3 teilbar <math> \Rightarrow p </math> ist durch 3 teilbar: Setzen <math> p = 3r </math>
+
Es ist etwas Erklärung notwendig, um dieses Statement zu begründen. Laut Voraussetzung ist <math>a</math> eine natürliche Zahl. Es können 2 Fälle eintreten:
  
<math> (3r)^2 = 3q^2 </math>
+
# <math>a</math> ist durch <math>p</math> teilbar. Dann ist auch <math>a^2</math> durch <math>p</math> teilbar
 +
# <math>a</math> ist nicht durch <math>p</math> teilbar. Dann ist auch <math>a^2</math> auch nicht durch <math>p</math> teilbar, weil wenn <math>p</math> nicht in der Primzahlenzerlegung von <math>a</math> vorkommt, kann es auch nicht in der von <math>a^2</math> vorkommen
  
<math> 9r^2 = 3q^2 </math>
+
Weil nur diese 2 Fälle eintreten können, ist auch die Umkehrung wahr: Wenn <math>a^2</math> durch <math>p</math> teilbar ist, dann auch <math>a</math>.
  
<math> 3r^2 = q^2 </math>
+
Für nicht-prim <math>p</math>, ist der Beweis direkt so nicht möglich. Stattdessen nimmt man eine Primzahl <math>q</math>, die in der Zerlegung von <math>p</math> nicht mit geradem exponenten vorkommt. Dann kann der obige Beweis mit <math>q</math> statt <math>p</math> geführt werden d.h. es wird gezeigt, dass beide Zahlen vielfave von <math>q</math> sind. Es reicht ja zu zeigen, dass beide Zahlen einen gemeinsamen Teiler <math>\ge 2</math> haben
 
 
(Anmerkung --[[Benutzer:Zool|Zool]] 20:49, 9. Nov 2008 (CET) hier ist der Beweis schon zu Ende:
 
 
 
<math> 3r^2 = q^2 </math> <math> \Rightarrow q^2 </math> ist durch 3 teilbar <math> \Rightarrow q </math> ist auch durch 3 teilbar. Es kann aber nicht sein, dass q und p beide durch 3 teilbar sind, dies ist ein Widerspruch zu ggT(q,p)=1 ! Daher <math> \sqrt{3} </math> ist irrational, da es nicht in einem Bruch dargestellt werden kann.)
 
 
 
Analog kann man auch für p argumentieren, daher können wir schreiben:
 
 
 
<math> 3 = \frac{p^2}{q^2} = \frac{3*r^2}{3*s^2}</math>
 
 
 
<math> 3 = \frac{p^2}{q^2} = \frac{r^2}{s^2}</math>
 
 
 
Wobei der Bruch r,s ein vereinfachter von p,q ist.
 
 
 
Das ganze könnte man weitermachen mit t,u usw. Aber Brüche können nicht unendlich oft vereinfacht werden => Widerspruch, dass <math> \sqrt{3}</math> sich als Bruch darstellen ließe.
 
 
 
==Diskussion  ==
 
Meiner Meinung nach ließe sich dieses Verfahren genauso für <math>\sqrt{9}</math> zeigen, wodurch dieser Beweis definitiv absurd wäre, und jeglicher Beweis von Bsp. 1-4 ebenso!
 
Ab dem Punkt mit der Annahme:
 
<div {{Angabe}}>
 
<math> \Rightarrow p^2 </math> ist durch 3 teilbar <math> \Rightarrow p </math> ist durch 3 teilbar: Setzen <math> p = 3r </math>
 
</div> ist dieser Ansatz für Zahlen wie 9 nicht mehr durchführbar, bzw. einfach falsch!
 
 
 
Meiner Meinung nach ließe es sich für die Zahlen besser beweisen wenn man davon ausgeht, dass die Wurzel einer Primzahl immer eine irrationale Zahl ist (da eine Primzahl nur durch sich selbst und 1 teilbar ist, gibt es keine ganze Zahl die mit sich quadriert eine Primzahl ergibt!!).
 
Somit haben wir die Zahlen 2,3,5,7,11,13,17, ... bewiesen. Was aber mit 6 oder 10 oder 16?
 
 
 
Nun hier bedienen wir uns der Primfaktorenzerlegung und wir wissen, dass <math>6 = 3*2</math> und <math>10 = 2*5</math> und <math>16 = 2*2*2*2</math> ist.
 
 
 
Aufgrund der Annahme, dass das Produkt zweier unterschiedlicher irrationale Zahlen wieder eine irrationale Zahl ergibt (hier nicht Bewiesen (sic!*)) ist dieses Problem lösbar.
 
Bei 6 und 10 tritt diese Annahme in Kraft, jedoch nicht bei 16, hier bleibt als einzige Primzahl <math>2^4</math> stehen und die Wurzel daraus ist <math>2^{\frac{4}{2}} = 2^{2} = 4</math>.
 
 
 
Womit dieses Problem für alle beliebigen Zahlen lösbar ist! Q.E.D. --[[Benutzer:W1n5t0n|W1n5t0n]] 18:47, 29. Mär. 2009 (CEST)
 
 
 
(sic!) <math>\sqrt{2} * \sqrt{2} = 2 </math> und <math>\sqrt{2} * \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 </math>
 
 
 
Ich finde keinen Beweis für "das Produkt zweier irrationaler Zahlen ist wieder eine irrationale Zahl" aber ausreichend Gegenbeispiele, zb.: <math>\sqrt{2} * \sqrt{18} = 6</math> --[[Benutzer:Pie3|Pie3]] 16:04, 5. Mai 2011 (CEST)
 
 
 
[http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_3#Beweis_der_Irrationalit.C3.A4t Wikipedia Erklärung]
 
 
 
 
 
Auch: warum soll der Ansatz falsch sein ab (Setzen p=3r).
 
Dann hast du 9q^2=(3r)^2
 
und weiters 9q^2=9r^2
 
daraus ergibt sich q=r, wahre Aussage.
 
da p immer 3r ist, wäre die abfolge der brüche hier 3/1, 6/2, 9/3, was alles der Wurzel aus 9 entspricht.
 
[[Kategorie:Materialien]]
 

Version vom 13. Februar 2019, 20:50 Uhr

Vorlage:Bsp

Zeigen Sie, dass  \sqrt{3} irrational ist!

Hilfreiches

Indirekter Beweis

Lösungsvorschlag von samuelp

Angenommen,  \sqrt{3} ist eine rationale Zahl. Dann ist es möglich  \sqrt{3} als Bruch darzustellen: \sqrt{3}={a\over b} mit natürlichen Zahlen a und b. Wir setzen voraus, dass der Bruch {a\over b} soweit wie möglich gekürzt ist.

Wir versuchen einen auf einen Widerspruch zu stoßen. Dazu formen wir um:



\begin{align}
\sqrt{3} &=& {a\over b} \\
3 &=& {a^2 \over b^2} \\
3 b^2 &=& a^2
\end{align}

Aus der letzten Gleichung geht hervor, dass a^2 durch 3 teilbar ist. Weil 3 eine Primzahl ist, muss auch a durch 3 teilbar sein (siehe Erlärung unten), setzen wir r sodass a=3r.

Weitere Umformung:


\begin{align}
3 b^2 &=& a^2 \\
3 b^2 &=& 9 r^2 \\
b^2 &=& 3 r^2
\end{align}

Ähnlich wie oben erkennen wir, dass b^2 durch 3 teilbar ist und damit auch b.

Jetzt erkennen wir einen Widerspruch zu unserer Annahme, dass der Bruch {a\over b} soweit wie möglich gekürzt ist, da sowohl a als auch b durch 3 teilbar sind.

wenn a^2 druch eine Primzahl p teilbar ist, dann auch a

Es ist etwas Erklärung notwendig, um dieses Statement zu begründen. Laut Voraussetzung ist a eine natürliche Zahl. Es können 2 Fälle eintreten:

  1. a ist durch p teilbar. Dann ist auch a^2 durch p teilbar
  2. a ist nicht durch p teilbar. Dann ist auch a^2 auch nicht durch p teilbar, weil wenn p nicht in der Primzahlenzerlegung von a vorkommt, kann es auch nicht in der von a^2 vorkommen

Weil nur diese 2 Fälle eintreten können, ist auch die Umkehrung wahr: Wenn a^2 durch p teilbar ist, dann auch a.

Für nicht-prim p, ist der Beweis direkt so nicht möglich. Stattdessen nimmt man eine Primzahl q, die in der Zerlegung von p nicht mit geradem exponenten vorkommt. Dann kann der obige Beweis mit q statt p geführt werden d.h. es wird gezeigt, dass beide Zahlen vielfave von q sind. Es reicht ja zu zeigen, dass beide Zahlen einen gemeinsamen Teiler \ge 2 haben