TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 343

Untersuchen Sie, ob die Menge M mit der Operation ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid bzw. eine Gruppe ist.

, d.h. die Potenzmenge der Menge A, (die symmetrische Differenz)

Definition der symmetrischen DifferenzEdit

 

C heißt symmetrische Differenz der Mengen A und B,

 ,

wenn C alle Elemente aus A enthält, die nicht zu B gehören und alle Elemente aus B, die nicht zu A gehören, d.h.:

 

VENN-Diagramm:

 

Theoretische Grundlagen (Zusammenfassung von mnemetz)Edit

Gesetze und Eigenschaften von algebraischen Strukturen

Eine algebraische Struktur ist eine nichtleere Menge G mit einer oder mehreren Operationen.

Folgende Eigenschaften kann eine solche Struktur annehmen:

  1. Abgeschlossenheit:  , für   (d.h. ist eindeutig zugeordnet). Das   entspricht einer Funktion von  
  2. Assoziativgesetz:   für alle  .
  3. Einheitselement: Es existiert ein  , so dass für alle   gilt:  .
  4. Inverses Element: Für jedes   gibt es ein inverses Element   (oder auch  ) so, dass gilt  . Wobei das e das Einheitselement ist.
  5. Kommutativgesetz:   für alle  .
  Nr.   Gruppoid   Halbgruppe   Monoid   Gruppe   Abelsche Gruppe
  1     X          X            X        X        X
  2                X            X        X        X
  3                             X        X        X
  4                                      X        X
  5                                               X

Lösungsvorschlag von mnemetzEdit

AbgeschlossenheitEdit

Wie schon aus den VENN-Diagrammen hervorgeht, ist eine Abgeschlossenheit gegeben.

AssoziativitätEdit

 

 

Es liegt die Assoziativität vor!

Man könnte dies mit der Elementtafel nachweisen (Auszug):

      \     \    
      \     \    
      \     \    

neutrales Element (Einheitselement)Edit

Das neutrale Element existiert', es ist die leere Menge  , denn  .

Inverses ElementEdit

Auch das inverse Element existiert, und zwar A' = A: jedes Element ist zu sich selbst invers denn  

  ist im folgenden das Komplement von A

 

Beruhend auf dem Gesetzen von de Morgan und dem Distributivgesetz folgt dann:  

Versuch einer Erklärung zu f.thread:37942 --Mnemetz 20:39, 12. Dez 2005 (CET)

KommutativitätEdit

Auch eine Kommutativität liegt vor.

  - die symmetrische Differenz ist daher kommutativ

SchlussfolgerungEdit

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.

WebressourcenEdit