TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 424

Sei $<R,+,\cdot >$ ein Ring, in dem $a^{2}=a$ für alle $a\in R$ gilt. Man zeige, dass dann auch $a+a=0$ für alle $a\in R$ gilt. (Hinweis: Man betrachte $(a+a)^{2}$)

Lösung

Strikt dem Hinweis folgen. Zuerst wird $(a+a)^{2}$ mithilfe des Distributivgesetzes aufgelöst:

$(a+a)^{2}=(a+a)\cdot (a+a)=a\cdot (a+a)+a\cdot (a+a)=a^{2}+a^{2}+a^{2}+a^{2}$

Man braucht hier zwei Schritte mit dem Distributivgesetz, weil wir keine Gesetze haben, die uns direkt $(a+a)\cdot (a+a)$ auflösen lassen.

$\Rightarrow (a+a)^{2}=a^{2}+a^{2}+a^{2}+a^{2}$

Da jedes beliebige $a^{2}=a$ ist, können wir links und rechts die Quadrate entfernen:

$a+a=a+a+a+a$

Jetzt addieren wir zweimal das additive Inverse von a (sprich: (-a)):

$0=a+a$

Voilà!

Anmerkung:

$0=a+a$

$-a=a$

--> Das einzige Element das sich selbst als additives Inverses Element besitzt ist das neutrale Element bezüglich der Addition (0).