TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 74

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Man berechne das Bereichsintegral \iint_B (xy + x^2 - y^2) \,\mathrm dx \mathrm dy über dem Rechtecksbereich, welcher durch die Punkte A(-1,1), B(5,1), C(5,5) und D(-1,5) bestimmt ist.

Lösungsvorschlag[edit]

\begin{align} \iint_B (xy + x^2 - y^2) \,\mathrm dx \mathrm dy
&= \int_{-1}^5 \int_1^5 (xy + x^2 - y^2) \,\mathrm dy \mathrm dx \\
&= \int_{-1}^5 \left. \left( \frac{1}{2}xy^2 + x^2y - \frac{1}{3}y^3 \right) \right|_{y=1}^5  \,\mathrm dx \\
&= \int_{-1}^5 \left( \left( \frac{5^2}{2}x + 5x^2 - \frac{5^3}{3} \right) - \left( \frac{1^2}{2}x + 1x^2 - \frac{1^3}{3} \right) \right) \,\mathrm dx \\
&= \int_{-1}^5 \left( \frac{25}{2}x + 5x^2 - \frac{125}{3} - \frac{1}{2}x - x^2 + \frac{1}{3} \right) \,\mathrm dx \\
&= \int_{-1}^5 \left( 12x + 4x^2 - \frac{124}{3} \right) \,\mathrm dx \\
&= \left. \left( \frac{12}{2}x^2 + \frac{4}{3}x^3 - \frac{124}{3}x \right) \right|_{x=-1}^5 \\
&= \left( 6 \cdot 5^2 + \frac{4}{3} \cdot 5^3 - \frac{124}{3} \cdot 5 \right) -  \left( 6 \cdot (-1)^2 + \frac{4}{3} \cdot (-1)^3 - \frac{124}{3} \cdot (-1) \right) \\
&= 6 \cdot 25 + \frac{4}{3} \cdot 125 - \frac{124}{3} \cdot 5 - 6 + \frac{4}{3} - \frac{124}{3} \\
&= 150 + \frac{500}{3} - \frac{620}{3} - 6 + \frac{4}{3} - \frac{124}{3} \\
&= 144 - \frac{240}{3} = 144 - 80 = 64
\end{align}

Lösung aus Karigl 2004[edit]

Quelle[edit]

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 60

Links[edit]