TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS13/Beispiel 35: Difference between revisions

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==Angabe==
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<div {{Angabe}}>
Man untersuche die Folge <math>\langle a_n\rangle_{n\in\mathbb{N}}</math> auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.<br>
<math>a_n=\frac{2n^3-5n^2+7}{2n^3-5n+7}</math>
</div>
 
==Lösungsvorschlag==
Zähler und Nenner sind uneigentlich konvergente Folgen und müssen deshalb zuerst ein bisschen umgeformt werden:
 
<math>a_n = \frac{2n^3-5n^2+7}{2n^3-5n+7} = \frac{n^3 (2-5\frac{n^2}{n^3}+\frac{7}{n^3})}{n^3(2-\frac{5n}{n^3}+\frac{7}{n^3})}</math>
 
<math>n^3</math> lässt sich entsprechend kürzen. Von dieser Folge kann jetzt der Grenzwert mit den bekannten Regeln berechnet werden:
 
<math>\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{2} = 1</math>
 
Die kleinen Brüche streben gegen <math>0</math>, die Konstanten zu ihren entsprechenden Werten. Somit strebt die Folge als Ganzes gegen <math>1</math>.
 
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