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TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 122

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Man zeige, dass die folgenden Funktionen stetige Umkehrfunktionen haben und bestimme diese:

f(x)=\frac{1-x^7}{x^7}, D_{f}=(1,\infty)

Inhaltsverzeichnis

HilfreichesBearbeiten

Satz 1

Stetigkeit - elementare FunktionenBearbeiten

Satz: Seien   und   stetige Funktionen. Dann sind die folgenden Funktionen - auf geeigneten Definitionsbereichen - ebenfalls stetig:

  •  
  •  
  •   (falls  )
  •  .

Da Polynome, Winkelfunktionen, Arcusfunktionen, Exponentialfunktionen und Logarithmen stetig sind, folgt daraus, dass alle elementaren Funktionen in ihrem Definitionsbereich stetig sind. Satz 2

Monotonie - erste AbleitungBearbeiten

Satz:

Für eine auf einem Intervall I differenzierbare Funktion   gilt:   ist genau dann monoton wachsend (fallend) auf I, wenn   für alle  . Falls die Ableitung auf I die strikte Ungleichung erfüllt, so ist   auf I streng monoton. Satz 3

Umkehrfunktion einer stetigen, streng monotonen Funktion[Bearbeiten, 4.91 Satz]

Sei   ein Intervall und   eine streng monotone und stetige Funktion. Dann existiert die Umkehrfunktion   und ist ebenfalls stetig.

LösungsvorschlagBearbeiten

StetigkeitBearbeiten

Nach obigem Satz 1, der besagt, dass Zusammensetzungen von elementaren Funktionen (auf geeignetem Definitionsbereich) stetig sind, folgt daraus, dass   stetig ist.

Begründung: Der Definitionsbereich ist geeignet, da die elementaren Funktionen   und   bzw.   im gesamten Definitionsbereich definiert sind. Der Nenner   kann somit den Wert   für   nicht annehmen.

  ist stetig

MonotonieBearbeiten

Um zu bestimmen ob f(x) streng monoton wächst oder fällt bilden wir die erste Ableitung f'(x):

Man nehme an:  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aufgrund der Tatsache, dass der Defintionsbereich   nur positive Zahlen erlaubt gilt folgendes:

 

  Laut obigem Satz 2 folgt daraus, dass f(x) streng monoton fallend ist.

  Wir wissen nun also, dass unsere Funktion f(x) stetig und streng monoton fallend ist. Daraus folgt nun nach Satz 3, dass eine stetige Umkehrunktion exisitert.

UmkehrfunktionBearbeiten

 

 

 

 

 

 

 

 

Stampi 15:12, 21. Apr. 2012 (CEST)

LinksBearbeiten