Difference between revisions of "TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 106"

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Mit Hilfe der Stirling'schen Approximationsformel zeige man, dass
 
Mit Hilfe der Stirling'schen Approximationsformel zeige man, dass
  
 
<center><math>\binom{3n}{n} \sim \left(\frac{27}{4}\right)^n \sqrt{\frac{3}{4 \pi n}}</math>.</center>
 
<center><math>\binom{3n}{n} \sim \left(\frac{27}{4}\right)^n \sqrt{\frac{3}{4 \pi n}}</math>.</center>
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==Lösungsvorschlag==
 
==Lösungsvorschlag==
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oder: <math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \; n^n \; {\mathrm e}^{-n}</math>
 
oder: <math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \; n^n \; {\mathrm e}^{-n}</math>
 
  
 
<math>\binom{3n}{n} = \frac{(3n)!}{(3n-n)! \; n!} \sim \frac{3^{3n} \; n^{3n} \; e^{-3n} \; \sqrt{6 \pi n}}{2^{2n} \; n^{2n} \; e^{-2n} \; \sqrt{4 \pi n} \; n^n \; e^{-n} \sqrt{2 \pi n}} = \frac{3^{3n} \; \sqrt{3}}{2^{2n} \; \sqrt{4 \pi n}} = \left(\frac{27}{4}\right)^n \sqrt{\frac{3}{4 \pi n}}</math>
 
<math>\binom{3n}{n} = \frac{(3n)!}{(3n-n)! \; n!} \sim \frac{3^{3n} \; n^{3n} \; e^{-3n} \; \sqrt{6 \pi n}}{2^{2n} \; n^{2n} \; e^{-2n} \; \sqrt{4 \pi n} \; n^n \; e^{-n} \sqrt{2 \pi n}} = \frac{3^{3n} \; \sqrt{3}}{2^{2n} \; \sqrt{4 \pi n}} = \left(\frac{27}{4}\right)^n \sqrt{\frac{3}{4 \pi n}}</math>
 
  
 
q.e.d.
 
q.e.d.
  
 
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Revision as of 21:29, 7 March 2019

Mit Hilfe der Stirling'schen Approximationsformel zeige man, dass

.

Lösungsvorschlag

Stirling-Formel:

oder:

q.e.d.