Difference between revisions of "TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 106"
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Mit Hilfe der Stirling'schen Approximationsformel zeige man, dass | Mit Hilfe der Stirling'schen Approximationsformel zeige man, dass | ||
<center><math>\binom{3n}{n} \sim \left(\frac{27}{4}\right)^n \sqrt{\frac{3}{4 \pi n}}</math>.</center> | <center><math>\binom{3n}{n} \sim \left(\frac{27}{4}\right)^n \sqrt{\frac{3}{4 \pi n}}</math>.</center> | ||
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==Lösungsvorschlag== | ==Lösungsvorschlag== | ||
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oder: <math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \; n^n \; {\mathrm e}^{-n}</math> | oder: <math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \; n^n \; {\mathrm e}^{-n}</math> | ||
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<math>\binom{3n}{n} = \frac{(3n)!}{(3n-n)! \; n!} \sim \frac{3^{3n} \; n^{3n} \; e^{-3n} \; \sqrt{6 \pi n}}{2^{2n} \; n^{2n} \; e^{-2n} \; \sqrt{4 \pi n} \; n^n \; e^{-n} \sqrt{2 \pi n}} = \frac{3^{3n} \; \sqrt{3}}{2^{2n} \; \sqrt{4 \pi n}} = \left(\frac{27}{4}\right)^n \sqrt{\frac{3}{4 \pi n}}</math> | <math>\binom{3n}{n} = \frac{(3n)!}{(3n-n)! \; n!} \sim \frac{3^{3n} \; n^{3n} \; e^{-3n} \; \sqrt{6 \pi n}}{2^{2n} \; n^{2n} \; e^{-2n} \; \sqrt{4 \pi n} \; n^n \; e^{-n} \sqrt{2 \pi n}} = \frac{3^{3n} \; \sqrt{3}}{2^{2n} \; \sqrt{4 \pi n}} = \left(\frac{27}{4}\right)^n \sqrt{\frac{3}{4 \pi n}}</math> | ||
| + | q.e.d. | ||
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Latest revision as of 21:52, 7 March 2019
Mit Hilfe der Stirling'schen Approximationsformel zeige man, dass
.
.Lösungsvorschlag[edit]
Stirling-Formel:
oder:
q.e.d.