TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 106

From VoWi
< TU Wien:Analysis UE (diverse)‎ | Übungen SS19
Revision as of 21:52, 7 March 2019 by Gittenborg (talk | contribs) (Gittenborg verschob die Seite TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS18/Beispiel 106 nach TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 106: verschiebe ins aktuelle Semester (bsp_mover.py))
(diff) ← Older revision | Latest revision (diff) | Newer revision → (diff)
Jump to navigation Jump to search

Mit Hilfe der Stirling'schen Approximationsformel zeige man, dass

\binom{3n}{n} \sim \left(\frac{27}{4}\right)^n \sqrt{\frac{3}{4 \pi n}}.

Lösungsvorschlag[edit]

Stirling-Formel: n! \sim \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{\mathrm e}\right)^{n}

oder: n! \sim \sqrt{2 \pi n} \; n^n \; {\mathrm e}^{-n}

\binom{3n}{n} = \frac{(3n)!}{(3n-n)! \; n!} \sim \frac{3^{3n} \; n^{3n} \; e^{-3n} \; \sqrt{6 \pi n}}{2^{2n} \; n^{2n} \; e^{-2n} \; \sqrt{4 \pi n} \; n^n \; e^{-n} \sqrt{2 \pi n}} = \frac{3^{3n} \; \sqrt{3}}{2^{2n} \; \sqrt{4 \pi n}} = \left(\frac{27}{4}\right)^n \sqrt{\frac{3}{4 \pi n}}

q.e.d.