View source for TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 107

{{Beispiel|1=
Bestimmen Sie die Größenordnungen von
{{abc|
<math>2{,}7n^2-0{,}5n+1</math>
<math>0{,}35\cdot 2^n+5n^5</math>
<math>\sqrt{1+1{,}1\,n^2}</math>
}}
}}

== Hilfreiches ==

{{Thema|Landau-Symbole}}

==Lösungsvorschlag von [[Benutzer:Manül|Manül]] ==

=== (a) ===
<math>2{,}7n^2-0{,}5n+1 = n^2 ( 2{,}7 - \frac{0{,}5}{n} + \frac{1}{n^2} ) \le C \cdot n^2</math> mit <math>C=2{,}7</math>

<math>\Rightarrow O(n^2)</math>

<math>\frac{2,7}{n} - \frac{0,5}{n^2} + \frac{1}{n^3} \to 0</math> für <math>n \to \infty</math>

<math>\Rightarrow o(n^3)</math>

<math>\lim_{n \to \infty} \frac{2{,}7n^2-0.5n+1}{2{,}7n^2} = 1 - \frac{0{,}5}{2{,}7n} + \frac{1}{2{,}7n^2} \to 1</math>

<math>\Rightarrow \sim2{,}7n^2</math>

=== (b) ===
<math>\frac{0{,}35 \cdot 2^n+5n^5}{2^n} \to 1</math>

<math>\Rightarrow O(2^n)</math>

Anmerkung: <math>2^n</math> wächst schneller als <math>5n^5</math>

=== (c) ===
<math>\sqrt{1+1{,}1n^2} = n\, \sqrt{\frac{1}{n^2}+1{,}1} \to O(n)</math>

oder <math>\sim\sqrt{1{,}1}n</math>

[[Benutzer:Manül|Manül]] 13:39, 17. Jun 2008 (CEST)

[[Kategorie:Materialien]]