TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 11

Man zeige, dass die Folge konvergiert, indem man zu beliebigem ein angebe.

Anleitung: Zeigen Sie, dass aus die Ungleichung folgt. Die erste Ungleichung darf ohne Beweis verwendet werden.

HilfreichesEdit

EDIT: Regel von l Hospital darf nur bei Funktionen genutzt werden. Daher hat diese Regel beim Brechnen von Grenzwerten von Folgen nichts zu suchen!

Regel_von_l'Hospital
Regel von l'Hospital[Bearbeiten, Wikipedia, 5.35 Satz]

Sind die Funktionen   und   in einer Umgebung von  

  • differenzierbar und
  • gilt   und
  • existiert  ,

so gilt:  . Eine analoge Aussage gilt für  , oder auch falls  .

LösungEdit

Wenn man   setzt. Dann gilt:

 

 

 

 

 

Grenzwert mit HospitalEdit

Der Grenzwert von:   ist nicht ganz so leicht zu berechnen, da sowohl die obere Teilfunktion als auch die untere gegen   streben.

Das heißt hier ist die Regel von de l'Hospital anzuwenden.

Praktischer Weise ist unser Fall im Buch "Mathematik für Informatik" bereits angeführt. (Auflage 3, Seite 203, Beispiel 5.36 (Anwendung der Regel von de l'Hospital), Punkt (d) )

Durch dieses Beispiel, wissen wir dass der Logarithmus für   schwächer wächst als jede positive Potenz von x.

N BerechnungEdit

Dadurch gilt:

 

Jetzt weiter wie Beispiel 9 und 10 (SS14)

 

 

Nachdem  

 

 

1) multipliziere mit  

2) dividiere durch  

3) potentiere mit 2

 

Lösung: