TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 12

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Man zeige, dass die Folge a_{n} = \frac{n}{4^n} konvergiert, indem man zu beliebigem \varepsilon > 0 ein N(\varepsilon) angebe.

Anleitung: Zeigen Sie zunächst n < 2^n.

Hilfreiches[edit]

Sandwich-Theorem

Seien (a_{n})_{n\geq 0} und (b_{n})_{n\geq 0} konvergente Folgen mit \lim_{n\rightarrow +\infty}a_{n} = \lim_{n\rightarrow +\infty}b_{n} = a. Sei (c_{n})_{n\geq 0} eine Folge mit a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n} für fast alle n \in\mathbb{N}.

Dann folgt die Konvergenz von c_{n} und es gilt \lim_{n\rightarrow +\infty}c_{n} = a. (Satz 4.22)

Lösung 1[edit]

von --Sk4g3n (Diskussion) 21:58, 14. Apr. 2013 (CEST)

Induktionsanfang: n = 0

0 < 2^0 = 1

Induktionsschritt: annahme: n < 2^n

n < 2^n

\Leftrightarrow 2n < 2^{n+1}, 2n > n + 1

\Rightarrow n+1 < 2^{n+1}

Es gilt also:

\frac{1}{4^n} < \frac{n}{4^n} < \frac{2^n}{4^n} = \frac{2^n}{2^{2n}} = \frac{1}{2^n}

\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{4^n} = \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{2^n} = 0

Aus dem Sandwichtheorem folgt \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{n}{4^n} = 0

Da \frac{n}{4^n} < \frac{1}{2^n} gilt kann N(\varepsilon) mit \frac{1}{2^n} berechnet werden.

\forall\varepsilon > 0 \exists N(\varepsilon )\in \mathbb{N}\forall n > N(\varepsilon ) : |\frac{1}{2^n} - 0| < \varepsilon

\frac{1}{2^n} < \varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{\varepsilon} < 2^n \Leftrightarrow n > \log_{2}\frac{1}{\varepsilon}

\Rightarrow N(\varepsilon) = \lceil \log_{2}\frac{1}{\varepsilon}\rceil

Lösung 2[edit]

Analog zu Beispiel 9,10 und 11 (SS14)

Induktionsanfang:  n = 0

 0 < 2^0

Induktionsbehauptung:  n < 2^n

Induktionsschritt:

 n + 1 < 2^{n+1}

Jetzt die Induktionsbehauptung links einsetzten und wir kommen auf:

 2^n + 1 < 2^{n+1}

 2^n + 1 < 2^n * 2

 2^n + 1 < 2^n + 2^n

 1 < 2^n

Edit: Für n=0 gilt die Ungleichung nicht, ich denke , hier müsste \le stehen.

Dadurch können den Grenzwert von  \frac{n}{4^n} feststellen:

 n \rightarrow \infty

 4^n \rightarrow \infty

Aber weil  n < 2^n < 4^n = 2^2n können wir sagen, dass:

 \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{4^n} = 0 = a

Und jetzt kommen wir zur Lösung:

 \mid \frac{n}{4^n} \mid - a < \epsilon

Wir setzen statt  n  2^n ein, weil  n < 2^n

 \mid \frac{2^n}{4^n} \mid < \epsilon

 \mid \frac{1}{2^n} \mid < \epsilon

1) mit 2^n multiplizieren

2) mit  \epsilon dividieren

 \mid \frac{1}{\epsilon} \mid < 2^n

um n runterzubekommen  \log_{2} anwenden.

 \log_{2} \frac{1}{\epsilon} < n

 \log_{2} 1 - log_{2} \epsilon < n

 0 - log_{2} \epsilon < n

 -log_{2} \epsilon < n

Lösung:  N(\epsilon) = \lceil -log_{2} \epsilon \rceil

Links[edit]

Beispiel 9 (SS14): TU_Wien:Analysis_UE_(diverse)/Übungen_SS13/Beispiel_9

Beispiel 10 (SS14): TU_Wien:Analysis_UE_(diverse)/Übungen_SS13/Beispiel_10

Beispiel 11 (SS14): TU_Wien:Analysis_UE_(diverse)/Übungen_SS14/Beispiel_11