TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 12

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Man zeige, dass die Folge konvergiert, indem man zu beliebigem ein angebe.

Anleitung: Zeigen Sie zunächst .

Hilfreiches

Sandwich-Theorem

Seien und konvergente Folgen mit . Sei eine Folge mit für fast alle .

Dann folgt die Konvergenz von und es gilt . (Satz 4.22)

Lösung 1

von --Sk4g3n (Diskussion) 21:58, 14. Apr. 2013 (CEST)

Induktionsanfang: n = 0

Induktionsschritt: annahme:

Es gilt also:

Aus dem Sandwichtheorem folgt

Da gilt kann mit berechnet werden.

Lösung 2

Analog zu Beispiel 9,10 und 11 (SS14)

Induktionsanfang:

Induktionsbehauptung:

Induktionsschritt:

Jetzt die Induktionsbehauptung links einsetzten und wir kommen auf:

Edit: Für gilt die Ungleichung nicht, ich denke , hier müsste stehen.

Dadurch können den Grenzwert von feststellen:

Aber weil können wir sagen, dass:

Und jetzt kommen wir zur Lösung:

Wir setzen statt ein, weil

1) mit 2^n multiplizieren

2) mit dividieren

um n runterzubekommen anwenden.

Lösung:

Links

Beispiel 9 (SS14): TU_Wien:Analysis_UE_(diverse)/Übungen_SS13/Beispiel_9

Beispiel 10 (SS14): TU_Wien:Analysis_UE_(diverse)/Übungen_SS13/Beispiel_10

Beispiel 11 (SS14): TU_Wien:Analysis_UE_(diverse)/Übungen_SS14/Beispiel_11