Difference between revisions of "TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 120"

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(+Angabe)
 
(Lösungsvorschlag hinzugefügt)
 
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<math>f(x)=\frac{1-x^3}{x^3}, \quad D_{f}=(1,\infty)</math>
 
<math>f(x)=\frac{1-x^3}{x^3}, \quad D_{f}=(1,\infty)</math>
 
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{{ungelöst}}
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== Lösungsvorschlag von Yousif ==
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'''Stetigkeit'''
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Elementare Funktionen: (Satz 4.92)
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<math>x^3 \to \text{stetig}</math>
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<math>1\to \text{stetig}</math>
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<math>1-x^3\to \text{stetig}</math>
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<math>\frac{1-x^3}{x^3}\to \text{stetig}</math>
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'''Monotonie'''
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Strenge Monotonie
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<math>\frac{1-x^3}{x^3} > \frac{1-(x+1)^3}{(x+1)^3}</math>
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<math>\begin{aligned} (1-x^3)(x+1)^3 &> (x^3)(1-(x+1)^3)\\ (1-x^3)(x^3+3x^2+3x+1) &> (x^3)(1-(x^3+3x^2+3x+1)\\ (1-x^3)(x^3+3x^2+3x+1) &> (x^3)(1-x^3-3x^2-3x-1)\\ x^3+3x^2+3x+1-x^6-3x^5-3x^4-x^3 &> -x^6-3x^5-3x^4\\ x^3+3x^2+3x+1-x^6-3x^5-3x^4-x^3 &> -x^6-3x^5-3x^4\\ \cancel{x^3}+3x^2+3x+1\cancel{-x^6}\cancel{-3x^5}\cancel{-3x^4}\cancel{-x^3} \cancel{+x^6}\cancel{+3x^5}\cancel{+3x^4}&> 0\\ 3x^2+3x+1 &> 0 \\ \end{aligned}</math>
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Die Funktion ist also stetig und streng monoton fallend besitzt daher eine Umkehrfunktion. (Satz 4.91)
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'''Umkehrfunktion'''
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<math>y= \frac{1-x^3}{x^3}</math>
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<math>y \cdot x^3 = 1-x^3</math>
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<math>y \cdot x^3+x^3 = 1</math>
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<math>x^3(y +1) = 1</math>
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<math>x^3=\frac{1}{y+1}</math>
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<math>x=\sqrt[3]{\frac{1}{y+1}}</math>
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--[[Benutzer:Yousafe|Yousafe]] 11:04, 25. Apr. 2021 (CEST)

Latest revision as of 11:04, 25 April 2021

Man zeige, dass die folgenden Funktionen stetige Umkehrfunktionen haben und bestimme diese:

Lösungsvorschlag von Yousif[edit]

Stetigkeit

Elementare Funktionen: (Satz 4.92)

Monotonie

Strenge Monotonie

Die Funktion ist also stetig und streng monoton fallend besitzt daher eine Umkehrfunktion. (Satz 4.91)

Umkehrfunktion

--Yousafe 11:04, 25. Apr. 2021 (CEST)