Editing TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 124

{{Beispiel|gekommen=2019S;Do;4|
Man zeige, dass die folgende Funktion eine stetige Umkehrfunktion hat und bestimme diese:

<math>f(x)=\frac 1 2 (e^x - e^{-x}),\quad D_f =\mathbb R</math>
}}

== Lösungsvorschlag ==
Satz 4.91: Sei <math>I=[a,b]</math> ein Intervall und <math>f: I \rightarrow \mathbb{R}</math> eine streng monotone und stetige funktion. Dann existiert die Umkehrfunktion  <math>f^{-1}:f(I)\rightarrow I</math> und ist ebenfalls stetig.

Zu zeigen ist also strenge Monotonie und Stetigkeit. Beides machen wir mithilfe der bekannten Eigenschaften der Exponentialfunktion.

Monotonie:

<math display="inline">e^x
</math> ist streng monoton wachsend auf dem gesamten Definitionsbereich und ungleich 0 für alle <math display="inline">x\in \mathbb{R}
</math>. Es gilt dann auch, dass <math>-e^{-x}
</math>streng monoton wachsend auf <math>\mathbb{R}
</math>.  Weil ja <math>e^x > e^y \text{ für } x>y \Rightarrow \frac{1}{e^x}<\frac{1}{e^y} \Rightarrow -\frac{1}{e^x}>-\frac{1}{e^y} \text{ für } x>y
</math>.  Da für die Summe zweier streng monotoner Funktionen auf demselben Definitionsbereich gilt, dass sie wiederum streng monoton ist, ist die Monotonie somit bewiesen. 

Stetigkeit:  

Aus dem Buch (genaugenommen Satz 4.92) wissen wir, dass die Verknüpfung stetiger Funktionen (bei geeignetem Definitionsbereich) ebenfalls stetig ist.   Für unser Beispiel ist der einzig wichtige Part hierbei dass <math>e^x
</math>nie Null wird und stetig ist. Somit ist  <math>e^{-x}
</math> auf ganz <math>\mathbb{R}
</math>definiert und ebenfalls stetig. Und dann ist natürlich auch  <math>\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})   \quad x\in \mathbb{R}
</math> stetig.
Wir haben gezeigt, dass die Funktion eine stetige Umkehrfunktion auf ganz <math display="inline">\mathbb{R}
</math>hat. Jetzt müssen wir sie noch berechnen, das geht ganz schnell.

<math>x=\frac{1}{2}(e^y-e^{-y})
</math>

<math>2x+e^{-y}=e^y\text{  Substitution: } u=e^y
</math>

<math>2x+\frac{1}{u}=u
</math>

<math>u^2-2xu-1=0 \Rightarrow u=x\pm\sqrt{x^2+1}
</math>

Da  <math display="inline">\sqrt{x^2+1} > x
</math> kommt nur <math display="inline">u=x+\sqrt{x^2+1} 
</math> als Lösung infrage, da ja <math>u=e^y \text{  und }  e^y>0 \quad \forall y \in \mathbb{R}
</math> gelten muss. 

Jetzt noch rücksubstituieren und logarithmieren und wir sind fertig:

<math>e^y=x+\sqrt{x^2+1} \Longleftrightarrow y=ln(x+\sqrt{x^2+1})
</math>

Die Funktion deren Umkehrfunktion wir bestimmt haben ist der Sinus hyperbolicus, die Umkehrfunktion ist der Areasinus Hyperbolicus.