Editing TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 124

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Man zeige, dass die folgende Funktion eine stetige Umkehrfunktion hat und bestimme diese:
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Man zeige, dass die folgenden Funktionen stetige Umkehrfunktionen haben und bestimme diese:
  
 
<math>f(x)=\frac 1 2 (e^x - e^{-x}),\quad D_f =\mathbb R</math>
 
<math>f(x)=\frac 1 2 (e^x - e^{-x}),\quad D_f =\mathbb R</math>
 
}}
 
}}
 
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{{ungelöst}}
== Hilfreiches ==
 
 
 
{{Thema|Umkehrfunktion einer stetigen, streng monotonen Funktion}}
 
 
 
== Lösungsvorschlag ==
 
 
 
Um obigen Satz verwenden zu können, müssen wir strenge Monotonie und Stetigkeit nachweisen. Beides machen wir mithilfe der bekannten Eigenschaften der Exponentialfunktion.
 
 
 
=== Monotonie ===
 
 
 
<math>e^x
 
</math> ist streng monoton wachsend auf dem gesamten Definitionsbereich und ungleich 0 für alle <math>x\in \R
 
</math>. Es gilt dann auch, dass <math>-e^{-x}
 
</math> streng monoton wachsend auf <math>\R
 
</math>.  Weil ja <math>e^x > e^y \text{ für } x>y \Rightarrow \frac{1}{e^x}<\frac{1}{e^y} \Rightarrow -\frac{1}{e^x}>-\frac{1}{e^y} \text{ für } x>y
 
</math>.  Da für die Summe zweier streng monotoner Funktionen auf demselben Definitionsbereich gilt, dass sie wiederum streng monoton ist, ist die Monotonie somit bewiesen.
 
 
 
=== Stetigkeit ===
 
 
 
Aus dem Buch (genaugenommen Satz 4.92) wissen wir, dass die Verknüpfung stetiger Funktionen (bei geeignetem Definitionsbereich) ebenfalls stetig ist.  Für unser Beispiel ist der einzig wichtige Part hierbei dass <math>e^x
 
</math>nie Null wird und stetig ist. Somit ist  <math>e^{-x}
 
</math> auf ganz <math>\R
 
</math> definiert und ebenfalls stetig. Und dann ist natürlich auch  <math>\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})  \quad x\in \R
 
</math> stetig.
 
Wir haben gezeigt, dass die Funktion eine stetige Umkehrfunktion auf ganz <math>\R
 
</math> hat. Jetzt müssen wir sie noch berechnen, das geht ganz schnell.
 
 
 
=== Umkehrfunktion bestimmen ===
 
 
 
<math>x=\frac{1}{2}(e^y-e^{-y})
 
</math>
 
 
 
<math>2x+e^{-y}=e^y \quad\text{  Substitution: } u=e^y
 
</math>
 
 
 
<math>2x+\frac{1}{u}=u
 
</math>
 
 
 
<math>u^2-2xu-1=0 \Rightarrow u=x\pm\sqrt{x^2+1}
 
</math>
 
 
 
Da  <math>\sqrt{x^2+1} > x
 
</math> kommt nur <math>u=x+\sqrt{x^2+1}
 
</math> als Lösung infrage, da ja <math>u=e^y \text{  und }  e^y>0 \quad \forall y \in \R
 
</math> gelten muss.
 
 
 
Jetzt noch rücksubstituieren und logarithmieren und wir sind fertig:
 
 
 
<math>e^y=x+\sqrt{x^2+1} \Longleftrightarrow y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})
 
</math>
 
 
 
Die Funktion deren Umkehrfunktion wir bestimmt haben ist der Sinus hyperbolicus, die Umkehrfunktion ist der [[de.wikipedia:Areasinus hyperbolicus|Areasinus Hyperbolicus]].
 

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