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TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 124

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Man zeige, dass die folgende Funktion eine stetige Umkehrfunktion hat und bestimme diese:

f(x)=\frac 1 2 (e^x - e^{-x}),\quad D_f =\mathbb R

HilfreichesBearbeiten

Umkehrfunktion einer stetigen, streng monotonen Funktion[Bearbeiten, 4.91 Satz]

Sei   ein Intervall und   eine streng monotone und stetige Funktion. Dann existiert die Umkehrfunktion   und ist ebenfalls stetig.

LösungsvorschlagBearbeiten

Um obigen Satz verwenden zu können, müssen wir strenge Monotonie und Stetigkeit nachweisen. Beides machen wir mithilfe der bekannten Eigenschaften der Exponentialfunktion.

MonotonieBearbeiten

  ist streng monoton wachsend auf dem gesamten Definitionsbereich und ungleich 0 für alle  . Es gilt dann auch, dass   streng monoton wachsend auf  . Weil ja  . Da für die Summe zweier streng monotoner Funktionen auf demselben Definitionsbereich gilt, dass sie wiederum streng monoton ist, ist die Monotonie somit bewiesen.

StetigkeitBearbeiten

Aus dem Buch (genaugenommen Satz 4.92) wissen wir, dass die Verknüpfung stetiger Funktionen (bei geeignetem Definitionsbereich) ebenfalls stetig ist. Für unser Beispiel ist der einzig wichtige Part hierbei dass  nie Null wird und stetig ist. Somit ist   auf ganz   definiert und ebenfalls stetig. Und dann ist natürlich auch   stetig. Wir haben gezeigt, dass die Funktion eine stetige Umkehrfunktion auf ganz   hat. Jetzt müssen wir sie noch berechnen, das geht ganz schnell.

Umkehrfunktion bestimmenBearbeiten

 

 

 

 

Da   kommt nur   als Lösung infrage, da ja   gelten muss.

Jetzt noch rücksubstituieren und logarithmieren und wir sind fertig:

 

Die Funktion deren Umkehrfunktion wir bestimmt haben ist der Sinus hyperbolicus, die Umkehrfunktion ist der Areasinus Hyperbolicus.