TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 124

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Man zeige, dass die folgende Funktion eine stetige Umkehrfunktion hat und bestimme diese:

f(x)=\frac 1 2 (e^x - e^{-x}),\quad D_f =\mathbb R

Lösungsvorschlag

Satz 4.91: Sei I=[a,b] ein Intervall und f: I \rightarrow \mathbb{R} eine streng monotone und stetige funktion. Dann existiert die Umkehrfunktion f^{-1}:f(I)\rightarrow I und ist ebenfalls stetig.

Zu zeigen ist also strenge Monotonie und Stetigkeit. Beides machen wir mithilfe der bekannten Eigenschaften der Exponentialfunktion.

Monotonie:

{\textstyle e^x
} ist streng monoton wachsend auf dem gesamten Definitionsbereich und ungleich 0 für alle {\textstyle x\in \mathbb{R}
}. Es gilt dann auch, dass -e^{-x}
streng monoton wachsend auf \mathbb{R}
. Weil ja e^x > e^y \text{ für } x>y \Rightarrow \frac{1}{e^x}<\frac{1}{e^y} \Rightarrow -\frac{1}{e^x}>-\frac{1}{e^y} \text{ für } x>y
. Da für die Summe zweier streng monotoner Funktionen auf demselben Definitionsbereich gilt, dass sie wiederum streng monoton ist, ist die Monotonie somit bewiesen.

Stetigkeit:

Aus dem Buch (genaugenommen Satz 4.92) wissen wir, dass die Verknüpfung stetiger Funktionen (bei geeignetem Definitionsbereich) ebenfalls stetig ist. Für unser Beispiel ist der einzig wichtige Part hierbei dass e^x
nie Null wird und stetig ist. Somit ist e^{-x}
auf ganz \mathbb{R}
definiert und ebenfalls stetig. Und dann ist natürlich auch \frac{1}{2}(e^x-e^{-x})   \quad x\in \mathbb{R}
stetig. Wir haben gezeigt, dass die Funktion eine stetige Umkehrfunktion auf ganz {\textstyle \mathbb{R}
}hat. Jetzt müssen wir sie noch berechnen, das geht ganz schnell.

x=\frac{1}{2}(e^y-e^{-y})

2x+e^{-y}=e^y\text{  Substitution: } u=e^y

2x+\frac{1}{u}=u

u^2-2xu-1=0 \Rightarrow u=x\pm\sqrt{x^2+1}

Da {\textstyle \sqrt{x^2+1} > x
} kommt nur {\textstyle u=x+\sqrt{x^2+1} 
} als Lösung infrage, da ja u=e^y \text{  und }  e^y>0 \quad \forall y \in \mathbb{R}
gelten muss.

Jetzt noch rücksubstituieren und logarithmieren und wir sind fertig:

e^y=x+\sqrt{x^2+1} \Longleftrightarrow y=ln(x+\sqrt{x^2+1})

Die Funktion deren Umkehrfunktion wir bestimmt haben ist der Sinus hyperbolicus, die Umkehrfunktion ist der Areasinus Hyperbolicus.

Vorlage:Gelöst