TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 124
Man zeige, dass die folgende Funktion eine stetige Umkehrfunktion hat und bestimme diese:
Hilfreiches
Baustein:Umkehrfunktion einer stetigen, streng monotonen Funktion
Lösungsvorschlag
Um obigen Satz verwenden zu können, müssen wir strenge Monotonie und Stetigkeit nachweisen. Beides machen wir mithilfe der bekannten Eigenschaften der Exponentialfunktion.
Monotonie
ist streng monoton wachsend auf dem gesamten Definitionsbereich und ungleich 0 für alle
. Es gilt dann auch, dass
streng monoton wachsend auf
. Weil ja
. Da für die Summe zweier streng monotoner Funktionen auf demselben Definitionsbereich gilt, dass sie wiederum streng monoton ist, ist die Monotonie somit bewiesen.
Stetigkeit
Aus dem Buch (genaugenommen Satz 4.92) wissen wir, dass die Verknüpfung stetiger Funktionen (bei geeignetem Definitionsbereich) ebenfalls stetig ist. Für unser Beispiel ist der einzig wichtige Part hierbei dass nie Null wird und stetig ist. Somit ist
auf ganz
definiert und ebenfalls stetig. Und dann ist natürlich auch
stetig.
Wir haben gezeigt, dass die Funktion eine stetige Umkehrfunktion auf ganz
hat. Jetzt müssen wir sie noch berechnen, das geht ganz schnell.
Umkehrfunktion bestimmen
Da kommt nur
als Lösung infrage, da ja
gelten muss.
Jetzt noch rücksubstituieren und logarithmieren und wir sind fertig:
Die Funktion deren Umkehrfunktion wir bestimmt haben ist der Sinus hyperbolicus, die Umkehrfunktion ist der Areasinus Hyperbolicus.